换参数消掉斜率不存在

病灶：$k$ 标不全那一族直线

过定点 $P$ 的直线有无穷多条，它们恰好被「方向」这一个自由度标记完。可 $y-y_{0}=k(x-x_{0})$ 只标记得到其中一部分——竖直的那一条标不到，因为它的斜率不存在。

于是设 $k$ 的写法从一开始就欠着一句话：竖直那一档要另行讨论。这句话被漏掉，是圆锥曲线题最常见的失分点之一（见「设斜率漏判斜率不存在」）。而且它欠得很隐蔽：整个推导每一步都对，只是那一族直线里少了一条。

三种换法

一、倾斜角 $\theta$。 直线写成

$\theta$ 取遍 $[0,\pi)$ 就取遍了所有方向，$\theta=\frac{\pi}{2}$ 就是竖直那一条，不是例外。

二、方向向量 $(m,n)$（或写成 $x=my+c$）。 $x=my+c$ 覆盖除水平线之外的全部；哪一档成为例外，取决于你把哪个字母提出来。关键是先确认「被漏掉的那一档」在本题里是否真的可能出现——很多题里 $x=my+c$ 漏掉的水平线本来就不满足条件，那这一换就是白赚。

三、换一个几何量当主元。 若目标量恰好只由「某定点到这条直线的距离 $d$」决定，就直接以 $d$ 为主元。这一换最彻底：$d$ 的取值范围往往是一个干净的闭区间，端点各自对应一个具体的极端位置，连定义域都不必单独讨论。

为什么这不只是省一句话

换参数之后，原来那句「另需讨论」不是被省略了，而是被吸收进了定义域。竖直那一档要么落在参数区间的内部（和别的档一视同仁），要么落在端点上（作为端点值参与比较）。

尤其是第三种换法：漏掉的那一档常常正是退化档（三角形压成一条线、弦长为零、两点重合）。用 $d$ 当主元时它自动表现为「目标函数在端点取 $0$」——不用你去说它不成立，函数自己说了。

自检

• 换完参数后问一句：这个参数取遍它的范围时，原来那一族对象是不是被取遍了？ 是，才算换成功。
• 若换完仍有例外档（比如 $x=my+c$ 漏掉水平线），要么补一句、要么说清这一档在本题里不可能出现，不能默认没有。