设斜率漏判斜率不存在

「设直线 $l: y=kx+m$」是解析几何里最顺手的一句话，也是最容易埋雷的一句话：斜率 $k$ 存在是这个写法的隐含前提，而竖直直线 $x=x_0$ 没有斜率，一开始就被排除了。

于是有两种后果：

• 漏解：正确答案里恰好有一条竖直直线，卷面上一个字都没提到它；
• 表述不全：即使竖直那条不满足条件，也必须写出来并说明它为什么不满足，否则解答是不完整的。

怎么避免

• 把「$l$ 竖直吗」当成分类讨论的第一支：先单独处理 $x=x_0$（往往一两行就能验完），再设 $y=kx+m$ 处理其余情形。
• 若直线必过某定点 $P(x_0,y_0)$，竖直那条就是 $x=x_0$，把它代进曲线求另一交点、算出所求的量、与条件比对即可。
• 换个设法可以整体绕开：直线不与 $x$ 轴平行时可设 $x=my+n$（这个写法涵盖竖直线 $m=0$，反而漏掉水平线）。哪种设法更省，取决于题目里哪一类特殊直线更容易被排除。
• 收尾时回读一遍：答案里出现的每一条直线，都要能在自己的设法里表示出来。

同源的两条

• 设 $y-y_0=k(x-x_0)$ 也一样漏掉竖直线；设 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$（截距式）则同时漏掉过原点与平行于坐标轴的直线。
• 联立后别忘 $\Delta>0$：斜率讨论管「设法覆盖不到的直线」，判别式管「设法覆盖到但根本不相交的直线」，两件事，各查各的。