浙江 2008 · 数学 q20

冷启动：四个点、两条垂直，先把谁是谁摆对

题面一口气给了四个点，读一遍多半会摆错，所以先一个一个钉死：

$A$ 与 $B$ 都在 $\ell$ 上，都从 $Q$ 量起——这是整道题唯一需要靠图才摆得清楚的事。 $|QA|$ 与 $|QB|$ 是同一条直线上从同一个端点出发的两段，只是终点不同：一个是「垂下来」， 一个是「竖上去」。

问的那个量是

$$\frac{|QB|^{2}}{|QA|},$$

它同时依赖两件事：$M$ 跑到哪里（记 $M$ 的横坐标为 $x$），以及 $\ell$ 选的是哪一条（记它的斜率为 $k$）。 这两个参数的地位完全不同：

$x$ 是要被消掉的，$k$ 是要被解出的。

所以整道第（Ⅱ）问就是一件事：把这个量算成 $x$ 与 $k$ 的式子， 再逼「含 $x$ 的那一块」变成不含 $x$ 的常数。下面三条路在「怎么算」上分道扬镳， 在「算完之后逼谁」上完全一致。

---

解法一：老老实实坐标化：一次平方化简答（Ⅰ），一次勾股定理答（Ⅱ）

这条路一个字都不猜：题面说距离相等，就把两段距离都写成坐标式；题面说有个直角，就用勾股定理。

（Ⅰ）把距离条件坐标化

设 $N(x,y)$ 是 $C$ 上任一点。两段距离分别是

$$|NP|=\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{8}\right)^{2}}, \qquad d\left(N,\ y=-\frac{5}{8}\right)=\left|y+\frac{5}{8}\right|.$$

（第二段是点到直线的距离公式在直线水平时的样子：到 $y=c$ 的距离就是 $|y-c|$。）

令两者相等并平方——左边是根号、右边是绝对值，两边都非负，平方是等价的：

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{8}\right)^{2}=\left(y+\frac{5}{8}\right)^{2}.$$

右边减左边那两个平方用平方差一步并掉：

$$\left(y+\frac{5}{8}\right)^{2}-\left(y-\frac{3}{8}\right)^{2} =\left(2y+\frac{1}{4}\right)\cdot 1=2y+\frac{1}{4}.$$

于是 $\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=2y+\frac{1}{4}$，即 $x^{2}+x+\frac{1}{4}=2y+\frac{1}{4}$，

$$\boxed{\ y=\frac{1}{2}\left(x^{2}+x\right).\ }$$

顺手记两件后面要用的事实：$x=-1$ 与 $x=0$ 都使 $y=0$，所以 $C$ 过 $Q(-1,0)$ 和原点。

（Ⅱ）先把两档特殊的 $\ell$ 交代掉

$\ell$ 不可能竖直。 若 $\ell$ 就是 $x=-1$，那么过 $M$ 且垂直于 $x$ 轴的那条线与 $\ell$ 平行， $B$ 根本不存在（只有 $M$ 也在 $x=-1$ 上时两线重合，可题面写明 $M\notin\ell$）。 题设自己把这一档排除了——但这句话必须写出来，否则就是「设斜率漏判斜率不存在」。

$k=0$ 也不行。 此时 $\ell$ 是 $x$ 轴，$M$ 的垂足与竖直线的交点是同一个点 $(x,0)$， 即 $A=B$，于是

$$\frac{|QB|^{2}}{|QA|}=\frac{(x+1)^{2}}{|x+1|}=|x+1|,$$

随 $M$ 变，不是常数。

所以可以设 $\ell:\ y=k(x+1)$，$k\neq 0$。

（Ⅱ）把三段长度都算出来

设 $M\left(x,\dfrac{x^{2}+x}{2}\right)$。注意 $\dfrac{x^{2}+x}{2}=\dfrac{x(x+1)}{2}$—— $(x+1)$ 这个因式从头到尾都在，这是后面一切能约干净的原因。

$B$ 在 $\ell$ 上且与 $M$ 同横坐标，所以 $B\left(x,\ k(x+1)\right)$，

$$|QB|=\sqrt{(x+1)^{2}+k^{2}(x+1)^{2}}=|x+1|\sqrt{1+k^{2}}.$$ $$|QM|^{2}=(x+1)^{2}+\frac{x^{2}(x+1)^{2}}{4}=(x+1)^{2}\left(1+\frac{x^{2}}{4}\right).$$

$|MA|$ 是 $M$ 到 $\ell:\ kx-y+k=0$ 的距离。分子先因式分解：

$$kx-\frac{x^{2}+x}{2}+k=k(x+1)-\frac{x(x+1)}{2}=(x+1)\left(k-\frac{x}{2}\right),$$ $$|MA|=\frac{|x+1|\left|k-\frac{x}{2}\right|}{\sqrt{1+k^{2}}}.$$

$A$ 是垂足，所以 $\angle QAM=90^{\circ}$，在 $\mathrm{Rt}\triangle QMA$ 里用勾股定理：

$$|QA|^{2}=|QM|^{2}-|MA|^{2} =(x+1)^{2}\left[1+\frac{x^{2}}{4}-\frac{\left(k-\frac{x}{2}\right)^{2}}{1+k^{2}}\right].$$

中括号通分，分子逐项展开：

$$\left(1+\frac{x^{2}}{4}\right)\left(1+k^{2}\right)-\left(k-\frac{x}{2}\right)^{2} =1+k^{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{k^{2}x^{2}}{4}-k^{2}+kx-\frac{x^{2}}{4} =1+kx+\frac{k^{2}x^{2}}{4},$$

正是 $\left(1+\dfrac{kx}{2}\right)^{2}=\dfrac{(kx+2)^{2}}{4}$。于是

$$|QA|^{2}=\frac{(x+1)^{2}(kx+2)^{2}}{4\left(1+k^{2}\right)}, \qquad |QA|=\frac{|x+1|\cdot|kx+2|}{2\sqrt{1+k^{2}}}.$$

（Ⅱ）逼它变成常数

$$\frac{|QB|^{2}}{|QA|} =\frac{(x+1)^{2}\left(1+k^{2}\right)\cdot 2\sqrt{1+k^{2}}}{|x+1|\cdot|kx+2|} =\frac{2\left(1+k^{2}\right)\sqrt{1+k^{2}}\,|x+1|}{|kx+2|}.$$

把 $k$ 提出来（这里用到 $k\neq 0$）：

$$\frac{|QB|^{2}}{|QA|} =\underbrace{\frac{2\left(1+k^{2}\right)\sqrt{1+k^{2}}}{|k|}}_{\text{只含 }k} \cdot\underbrace{\left|\frac{x+1}{x+\frac{2}{k}}\right|}_{\text{含 }x\text{ 的那一块}}.$$

要这个量与 $x$ 无关，只需也只须后面那块与 $x$ 无关。记 $c=\dfrac{2}{k}$，分离常数：

$$\frac{x+1}{x+c}=1+\frac{1-c}{x+c}.$$

$c\neq 1$ 时 $\dfrac{1-c}{x+c}$ 随 $x$ 取无穷多个互不相同的值，取绝对值也仍然互不相同 （一个非常值的分式变换是单射）；$c=1$ 时这块恒等于 $1$。所以

$$\text{与 }x\text{ 无关}\iff c=\frac{2}{k}=1\iff k=2 .$$

代回去：$\dfrac{2\left(1+4\right)\sqrt{1+4}}{2}=5\sqrt{5}$。所求直线是 $y=2(x+1)$，即

$$\boxed{\ 2x-y+2=0,\qquad \frac{|QB|^{2}}{|QA|}=5\sqrt{5}.\ }$$

顺带一条更快的排除法。 注意 $|QA|=0$ 就是 $A$ 与 $Q$ 重合，此时比值根本没定义。 由上式，$|QA|=0$ 发生在 $x=-1$ 或 $x=-\frac{2}{k}$。而 $M\notin\ell$ 排除掉的 $x$ 是 $\frac{x(x+1)}{2}=k(x+1)$ 的根，即 $x=-1$ 与 $x=2k$。于是 $x=-\frac{2}{k}$ 要么等于 $-1$ （给出 $k=2$），要么等于 $2k$（给出 $k^{2}=-1$，不可能），否则它就是一个允许的 $M$， 在那里比值没有定义。所以 $k$ 只能是 $2$——这条路两行就到，可以当检验用。

避坑

• 别把 $A$ 当成「$M$ 在 $x$ 轴上的投影」：$A$ 的垂足落在 $\ell$ 上，不是落在坐标轴上。
• $|QA|^{2}=|QM|^{2}-|MA|^{2}$ 的直角在 $A$ 处，不在 $M$ 处也不在 $Q$ 处——写错一处， 减号方向就反了。
• 开根号时别丢绝对值：$\sqrt{(x+1)^{2}}=|x+1|$。这里最后能约掉是因为分子分母都带 $|x+1|$， 但中途写成 $x+1$ 会在 $x<-1$ 的那一段给出负长度。

---

解法二：先认出它是抛物线：顶点与焦准距写出（Ⅰ），投影绕开垂足答（Ⅱ）

解法一把（Ⅰ）当成一道化简题。其实那句话就是一条定义的原文，认出来就不用化简； （Ⅱ）里那个垂足也一样——它根本不必求出来。

（Ⅰ）这就是抛物线的定义

「到定点 $P\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{8}\right)$ 与到定直线 $y=-\frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹」， 而 $P$ 不在这条直线上（$\frac{3}{8}\neq-\frac{5}{8}$）。按抛物线的定义，$C$ 就是以 $P$ 为焦点、 以 $y=-\frac{5}{8}$ 为准线的抛物线。

三个数直接读出来：

• 对称轴：过焦点且垂直于准线，准线水平，所以对称轴是竖直线 $x=-\frac{1}{2}$；
• 开口：焦点在准线上方（$\frac{3}{8}>-\frac{5}{8}$），所以开口向上；
• 焦准距：$p=\frac{3}{8}-\left(-\frac{5}{8}\right)=1$；
• 顶点：焦点与它在准线上的垂足的中点，纵坐标 $\frac{1}{2}\left(\frac{3}{8}-\frac{5}{8}\right)=-\frac{1}{8}$， 即顶点 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{8}\right)$。

以顶点为原点、方向不变地记 $X=x+\frac{1}{2}$、$Y=y+\frac{1}{8}$，标准方程就是 $X^{2}=2pY=2Y$：

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=2\left(y+\frac{1}{8}\right).$$

展开：$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2y+\frac{1}{4}$，

$$\boxed{\ y=\frac{1}{2}\left(x^{2}+x\right).\ }$$

回验一次（这一步别省，它专治「抛物线的p与2p记混」）：标准形 $X^{2}=2pY$ 里， 焦点是 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$、准线是 $Y=-\frac{p}{2}$，焦点到顶点是 $\frac{p}{2}$ 不是 $p$。 这里 $\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$，故焦点纵坐标 $-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$ ✓， 准线 $-\frac{1}{8}-\frac{1}{2}=-\frac{5}{8}$ ✓。

（Ⅱ）垂足不必求：投影长化成数量积

$\ell$ 不能竖直（竖直时过 $M$ 的竖直线与它平行，$B$ 不存在），设 $\ell:\ y=k(x+1)$， 单位方向向量 $\vec e=\dfrac{(1,k)}{\sqrt{1+k^{2}}}$。

$Q$ 在 $\ell$ 上，$A$ 是 $M$ 在 $\ell$ 上的垂足，所以 $\overrightarrow{QA}$ 就是 $\overrightarrow{QM}$ 在 $\ell$ 上的投影向量：

$$\overrightarrow{QA}=\left(\overrightarrow{QM}\cdot\vec e\right)\vec e, \qquad |QA|=\left|\overrightarrow{QM}\cdot\vec e\right|.$$

$B$ 也在 $\ell$ 上，所以 $\overrightarrow{QB}=\pm|QB|\,\vec e$，于是

$$\left|\overrightarrow{QM}\cdot\overrightarrow{QB}\right|=|QB|\cdot\left|\overrightarrow{QM}\cdot\vec e\right|=|QB|\cdot|QA|, \qquad |QA|=\frac{\left|\overrightarrow{QM}\cdot\overrightarrow{QB}\right|}{|QB|}.$$

垂足 $A$ 的坐标从头到尾没出现过。（原卷解法二那句突兀的「因为 $|QA|=|MH|$」说的就是这件事： 把 $H$ 取成 $M$ 在过 $Q$ 且垂直于 $\ell$ 的那条直线上的垂足，$QAMH$ 是矩形，对边自然相等。 省掉 $H$、直接用投影，少一个需要交代的点。）

代进去，两个向量都提得出 $(x+1)$：

$$\overrightarrow{QM}=\left(x+1,\ \frac{x(x+1)}{2}\right)=(x+1)\left(1,\ \frac{x}{2}\right), \qquad \overrightarrow{QB}=(x+1)(1,\ k),$$ $$|QB|=|x+1|\sqrt{1+k^{2}}, \qquad \overrightarrow{QM}\cdot\overrightarrow{QB}=(x+1)^{2}\left(1+\frac{kx}{2}\right)=\frac{(x+1)^{2}(kx+2)}{2}.$$

于是

$$\frac{|QB|^{2}}{|QA|} =\frac{|QB|^{3}}{\left|\overrightarrow{QM}\cdot\overrightarrow{QB}\right|} =\frac{|x+1|^{3}\left(1+k^{2}\right)^{3/2}\cdot 2}{(x+1)^{2}\,|kx+2|} =\frac{2\left(1+k^{2}\right)^{3/2}|x+1|}{|kx+2|}.$$

（这里 $|x+1|^{3}/(x+1)^{2}=|x+1|$。）

现在看 $k$。若 $k=0$，上式成 $\dfrac{2|x+1|}{2}=|x+1|$，随 $M$ 变，不是常数； 故 $k\neq 0$，可以提出 $|k|$：

$$\frac{|QB|^{2}}{|QA|}=\frac{2\left(1+k^{2}\right)^{3/2}}{|k|}\cdot\left|\frac{x+1}{x+\frac{2}{k}}\right|.$$

记 $c=\frac{2}{k}$。由 $\dfrac{x+1}{x+c}=1+\dfrac{1-c}{x+c}$ 知：$c\neq 1$ 时它随 $x$ 取无穷多个不同的值 （取绝对值也仍取无穷多个值），$c=1$ 时恒为 $1$。所以

$$\text{与 }x\text{ 无关}\iff \frac{2}{k}=1\iff k=2,$$

此时常数为 $\dfrac{2\cdot 5^{3/2}}{2}=5\sqrt{5}$，直线是

$$\boxed{\ 2x-y+2=0 .\ }$$

避坑

• $p$ 是焦准距，不是焦点到顶点的距离。$X^{2}=2pY$ 里焦点 $\left(0,\frac{p}{2}\right)$、 准线 $Y=-\frac{p}{2}$，两者相距 $p$。这里 $p=1$、$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$， 写成 $X^{2}=2Y$ 而不是 $X^{2}=4Y$。算完一定拿焦点和准线回代验一次。
• 投影那一步要求 $Q$ 在 $\ell$ 上。$|QA|=\left|\overrightarrow{QM}\cdot\vec e\right|$ 成立， 靠的是「起点 $Q$ 本身就在被投影的那条直线上」；换个不在 $\ell$ 上的起点，这式子就不对了。
• $\overrightarrow{QB}=\pm|QB|\vec e$ 的那个正负号别丢，所以两边都要带绝对值； 最后的比值是长度之比，非负。

---

解法三：换个原点、先猜后证：平移一次答（Ⅰ），三个位置把 $k$ 逼出来再回代答（Ⅱ）

前两条路都是「一次算到底」。这条路换一种脾气：（Ⅰ）把原点挪到顶点，让分数全消失； （Ⅱ）不急着做一般化简，先拿三个最好算的 $M$ 把 $k$ 逼到只剩一个候选，再回头证明它真的行。

（Ⅰ）把原点挪到两条距离的「正中间」

$P$ 的横坐标是 $-\frac{1}{2}$，直线 $y=-\frac{5}{8}$ 与 $P$ 的纵坐标之间的中点是 $-\frac{1}{8}$。 令

$$X=x+\frac{1}{2},\qquad Y=y+\frac{1}{8}$$

（即把原点搬到 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{8}\right)$，坐标轴方向不变）。在新坐标下

$$P:\ \left(0,\ \frac{3}{8}+\frac{1}{8}\right)=\left(0,\frac{1}{2}\right), \qquad \text{直线 }y=-\frac{5}{8}:\ Y=-\frac{5}{8}+\frac{1}{8}=-\frac{1}{2}.$$

距离相等的条件成了

$$\sqrt{X^{2}+\left(Y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\left|Y+\frac{1}{2}\right|,$$

两边平方，$Y^{2}$ 与 $\frac{1}{4}$ 各自消掉：

$$X^{2}-Y+\frac{1}{4}+Y^{2}=Y^{2}+Y+\frac{1}{4}\ \Longrightarrow\ X^{2}=2Y .$$

回代 $X=x+\frac{1}{2}$、$Y=y+\frac{1}{8}$：$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=2y+\frac{1}{4}$，即

$$\boxed{\ y=\frac{1}{2}\left(x^{2}+x\right).\ }$$

平移带来的好处很实在：原式里那些 $\frac{3}{8}$、$\frac{5}{8}$ 全变成了 $\pm\frac{1}{2}$， 平方之后自动对消，一行就到底。

（Ⅱ）第一步：三个位置，把 $k$ 逼成唯一候选

$\ell$ 不能竖直（那时 $B$ 不存在），设 $\ell:\ y=k(x+1)$。

先处理 $k=0$：此时 $\ell$ 是 $x$ 轴，$A$ 与 $B$ 都是 $(x,0)$，比值为 $|x+1|$； 取 $x=0$ 得 $1$、取 $x=1$ 得 $2$，不是常数。所以 $k\neq 0$，下面可以放心用 $-\frac{1}{k}$ 作垂线斜率。

在 $C$ 上取三个最好算的点（代进 $y=\frac{1}{2}(x^{2}+x)$ 逐个验过）：

$$M_{0}(0,0),\qquad M_{1}(1,1),\qquad M_{2}(2,3).$$

对每个 $M_{i}$，把垂足直接解出来——过 $M_{i}$ 且垂直于 $\ell$ 的直线斜率是 $-\frac{1}{k}$， 与 $\ell$ 联立即可。三次都只需要 $A$ 的横坐标，因为 $A$ 在 $\ell$ 上， $|QA|=|x_{A}+1|\sqrt{1+k^{2}}$。

$M_{0}(0,0)$：垂线 $y=-\frac{1}{k}x$，与 $y=k(x+1)$ 联立得 $k(x+1)=-\frac{x}{k}$， 即 $k^{2}x+k^{2}=-x$，$x_{A}=-\dfrac{k^{2}}{1+k^{2}}$，于是 $x_{A}+1=\dfrac{1}{1+k^{2}}$，

$$|QA|=\frac{\sqrt{1+k^{2}}}{1+k^{2}}=\frac{1}{\sqrt{1+k^{2}}} .$$

$B_{0}=(0,k)$，$|QB_{0}|^{2}=1+k^{2}$，所以

$$R_{0}=\frac{|QB_{0}|^{2}}{|QA_{0}|}=\left(1+k^{2}\right)^{3/2}.$$

$M_{1}(1,1)$：垂线 $y-1=-\frac{1}{k}(x-1)$，与 $\ell$ 联立得 $k^{2}(x+1)-k=1-x$， 即 $x\left(1+k^{2}\right)=1+k-k^{2}$，于是 $x_{A}+1=\dfrac{2+k}{1+k^{2}}$，

$$|QA_{1}|=\frac{|k+2|}{\sqrt{1+k^{2}}}, \qquad B_{1}=(1,2k),\quad |QB_{1}|^{2}=4\left(1+k^{2}\right), \qquad R_{1}=\frac{4\left(1+k^{2}\right)^{3/2}}{|k+2|}.$$

$M_{2}(2,3)$：垂线 $y-3=-\frac{1}{k}(x-2)$，与 $\ell$ 联立得 $k^{2}(x+1)-3k=2-x$， 即 $x\left(1+k^{2}\right)=2+3k-k^{2}$，于是 $x_{A}+1=\dfrac{3(1+k)}{1+k^{2}}$，

$$|QA_{2}|=\frac{3|k+1|}{\sqrt{1+k^{2}}}, \qquad B_{2}=(2,3k),\quad |QB_{2}|^{2}=9\left(1+k^{2}\right), \qquad R_{2}=\frac{3\left(1+k^{2}\right)^{3/2}}{|k+1|}.$$

若比值是常数，则 $R_{0}=R_{1}=R_{2}$。注意 $\left(1+k^{2}\right)^{3/2}>0$，两边同除：

$$R_{0}=R_{1}\ \Longrightarrow\ |k+2|=4\ \Longrightarrow\ k=2\ \text{或}\ k=-6;$$ $$R_{0}=R_{2}\ \Longrightarrow\ |k+1|=3\ \Longrightarrow\ k=2\ \text{或}\ k=-4 .$$

两个解集一取交，只剩 $k=2$。（一个特值不够、两个特值也不够——$R_{0}=R_{1}$ 单独留下了 $k=-6$；补上第三个点才夹死。这正是「特例成立当成恒成立」要提醒的： 到这里为止，我们只证明了「若是常数，则 $k=2$」。）

（Ⅱ）第二步：把 $k=2$ 代回去，对一般的 $M$ 验一次

取 $\ell:\ y=2(x+1)$，即 $2x-y+2=0$。$M\left(x,\frac{x(x+1)}{2}\right)$ 是 $C$ 上不在 $\ell$ 上的点， 即 $\frac{x(x+1)}{2}\neq 2(x+1)$，也就是 $x\neq-1$ 且 $x\neq 4$。

算 $|QB|$：$B=(x,\ 2x+2)$，

$$|QB|^{2}=(x+1)^{2}+4(x+1)^{2}=5(x+1)^{2}.$$

算 $|QA|$：过 $M$ 且垂直于 $\ell$ 的直线斜率是 $-\frac{1}{2}$。设垂足 $A$ 的横坐标为 $t$， 则 $A=(t,\ 2t+2)$ 在那条垂线上：

$$2t+2-\frac{x(x+1)}{2}=-\frac{1}{2}(t-x).$$

两边乘 $2$：$4t+4-x^{2}-x=-t+x$，即 $5t=x^{2}+2x-4$，

$$t+1=\frac{x^{2}+2x-4+5}{5}=\frac{(x+1)^{2}}{5}.$$

（这一步就是「回代之后大幅塌缩」：一个完全平方自己冒出来了。）于是

$$|QA|=|t+1|\sqrt{1+2^{2}}=\frac{(x+1)^{2}}{5}\cdot\sqrt{5}=\frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{5}} .$$

合起来：

$$\frac{|QB|^{2}}{|QA|}=\frac{5(x+1)^{2}\sqrt{5}}{(x+1)^{2}}=5\sqrt{5},$$

与 $x$ 无关。必要性与充分性都齐了，所以所求直线是

$$\boxed{\ 2x-y+2=0,\qquad \frac{|QB|^{2}}{|QA|}=5\sqrt{5}.\ }$$

避坑

• 第一步只是必要条件。 停在「$k=2$」就交卷，等于用三个例子冒充了全称命题。 第二步那次一般化验证才是答案成立的理由。
• 三个特值不能随便取。 它们必须真在 $C$ 上（代方程验一次），且对候选的 $k$ 都不在 $\ell$ 上； $k=2$ 时 $\ell:\ y=2x+2$ 在 $x=0,1,2$ 处的纵坐标是 $2,4,6$，与 $0,1,3$ 都不等 ✓。
• 别把 $x\neq-1,4$ 当成「常数不成立」的反例。 那两处 $M$ 落在 $\ell$ 上，被题设排除在外， 本来就不在讨论范围内；$x=-1$ 处连 $|QA|$ 都是 $0$。

---

三条路各自省在哪里

| | （Ⅰ）怎么得方程 | （Ⅱ）怎么得 $|QA|$ | 省在哪 | 累在哪 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 解法一 | 两段距离都写成坐标式，平方化简 | $\mathrm{Rt}\triangle QMA$ 勾股：$|QM|^{2}-|MA|^{2}$ | 不需要认出任何曲线，照字面做 | 中括号里要展开、合并、再认出完全平方，最容易算错的一段 | | 解法二 | 认出定义，读焦准距与顶点 | 投影：$|QA|=\dfrac{\left|\overrightarrow{QM}\cdot\overrightarrow{QB}\right|}{|QB|}$ | 垂足与点到直线的距离都不必登场，两个数量积就够 | 要熟 $X^{2}=2pY$ 里 $p$ 与 $\frac{p}{2}$ 的分工 | | 解法三 | 平移原点，分数自动对消 | 三个特值反解 $k$，再对一般 $x$ 解一次垂足 | 全程只算具体数字，不带字母讨论符号 | 必须写两步（必要性 + 充分性），少一步就不完整 |

三条路的终点完全一样：含 $x$ 的那一块被逼成常数，$k=2$，常数是 $5\sqrt{5}$。 差别只在把 $x$ 提干净的手法——而所有手法都指向同一个结构性事实：

$\overrightarrow{QM}$ 与 $\overrightarrow{QB}$ 都能提出公因式 $(x+1)$， 因为 $M$、$B$ 都是随 $x$「从 $Q$ 出发线性地走开」的点。 $|QB|^{2}$ 贡献 $(x+1)^{2}$，$|QA|$ 贡献 $(x+1)\cdot(\text{另一个一次式})$， 约掉之后只剩两个一次式之比——这道题的全部难度就在把这件事看清楚。

---

最后：这道题最容易丢分的三处

1. 两档特殊的 $\ell$ 不写。 $\ell$ 竖直时 $B$ 不存在（题设自己排除，但要说）， $k=0$ 时比值随 $M$ 变（要举一句反例）。不写这两句，后面「设 $y=k(x+1)$」就是无据的， 哪怕结论正确也要扣分——这正是「设斜率漏判斜率不存在」。
2. 「与 $x$ 无关」只验了两个点。 代两个 $x$ 相等只能给候选；本题里 $R_{0}=R_{1}$ 留下了 $k=-6$ 这个假解，必须再补一个点或者做一次一般化验证。反过来，解法一、二那种 恒等变形是等价的，不必再验——但别把两条路各写一半拼在一起。
3. $M\notin\ell$ 排除的 $x$ 没交代。 答案里应当写明：$k=2$ 时 $x\neq-1$ 且 $x\neq 4$。 $x=-1$ 时 $M$ 与 $Q$ 重合、$|QA|=0$；$x=4$ 时 $M$ 落在 $\ell$ 上、$A=B=M$。 这两处不是「常数不成立」，是本来就不在讨论范围内。