特例成立当成恒成立

错在哪

题目问「下列哪个一定成立」，于是随手取一组好算的数代进去，四个选项里有三个通过了，就在这三个里挑一个顺眼的。

这个动作的方向是反的。 特例能做的只有一件事：否定。

所以特例只能用来砍，不能用来选。砍到只剩一个时，那一个仍然要另外证明—— 只不过在单选题里，「有且只有一个正确」这条题目自带的前提可以替你走完最后一步。 但凡是多选题、或者要写解答，这一步都省不掉。

一个典型的翻车现场

要判断 $\max\{|\vec a+\vec b|^{2},|\vec a-\vec b|^{2}\}$ 与 $|\vec a|^{2}+|\vec b|^{2}$ 的大小。 取 $\vec a\perp\vec b$ 且等长，算得两边相等——于是「$\leq$」和「$\geq$」两个选项同时通过了这个特例。 再取 $\vec a=\vec b$，「$\leq$」当场垮掉，「$\geq$」还活着。

关键在于那个「相等」：取等的特例最没有筛选力，它两边的选项都放过。 挑特例时要故意挑偏的——让不等号绷紧的那种，才砍得动。

怎么防

1. 先问自己「我是在砍还是在选」。 在砍——特例够用；在选——必须回到证明。
2. 特例要挑得毒。 取等的、对称的、全零的往往什么都筛不掉；挑退化的（某个量变成 $0$）、 挑极端的（一个远大于另一个）才有力。
3. 砍完剩下的那一个，回头补一句为什么它对。 哪怕只在草稿上写一行，也能挡住「四个都被特例放过」的窘境。