浙江 2008 · 数学 q17

冷启动：两个平面，别把它们搞混

题面：$a\geqslant0$、$b\geqslant0$，且当

$$\begin{cases} x\geqslant 0\\ y\geqslant 0\\ x+y\leqslant 1 \end{cases}$$

时恒有 $ax+by\leqslant 1$；求以 $a$、$b$ 为坐标的点 $P(a,b)$ 所形成的平面区域的面积。

第一件事：这道题里有两个平面。 $(x,y)$ 那个平面上住着一个固定的三角形； $(a,b)$ 那个平面上才是要求面积的区域。$x$、$y$ 是跑遍三角形的哑变量，$a$、$b$ 才是主角—— 问的是「哪些 $(a,b)$ 能让那句恒成立为真」。

第二件事：那个三角形是什么。 $x\geqslant0$、$y\geqslant0$、$x+y\leqslant1$ 围出的可行域是一个 以 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$ 为顶点的直角三角形（含边界），有界、闭、凸。

第三件事：目标 $ax+by$ 对 $(x,y)$ 是线性的。 在 $(a,b)$ 固定之后， $f(x,y)=ax+by$ 是一次函数——它没有内部的极值，最大值只能被「推到边上」。 这句话是下面三条路的共同源头：恒成立 $\Longleftrightarrow$ 最大值 $\leqslant 1$， 而线性函数的最大值好求。

解法一：线性目标在三角形上的最大值只能在顶点取到，三个顶点各给一句话

怎么想到的。 「对区域里每一个点都成立」是一句全称命题，逐点验证是不可能的； 但只要把它换成「最大值 $\leqslant 1$」，就只剩一个数要算。而线性函数在有界闭凸多边形上的最值 必在顶点取到——三角形只有三个顶点，于是一句全称命题被压成三个不等式。

① 把可行域与目标写清楚。 可行域

$$D=\left\{(x,y)\ \middle|\ x\geqslant0,\ y\geqslant0,\ x+y\leqslant1\right\}$$

是以 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$ 为顶点的三角形（含边界），有界且闭。 目标 $f(x,y)=ax+by$ 在 $(a,b)$ 固定后是关于 $(x,y)$ 的线性函数。

② 恒成立 $\Longleftrightarrow$ 最大值不超过 $1$。

$$\forall (x,y)\in D:\ f(x,y)\leqslant 1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \max_{D}f\leqslant 1$$

（$D$ 是有界闭集、$f$ 连续，最大值一定存在。）

③ 线性目标的最大值在顶点取到。 由最优解在可行域顶点，

$$\max_{D}f=\max\left\{f(0,0),\ f(1,0),\ f(0,1)\right\}=\max\left\{0,\ a,\ b\right\}$$

④ 三个顶点各给一句话。 $\max\{0,a,b\}\leqslant1$ 等价于三条同时成立：

$$0\leqslant 1\ (\text{恒真}),\qquad a\leqslant 1,\qquad b\leqslant 1$$

⑤ 连上题目自带的 $a\geqslant0$、$b\geqslant0$。 $P(a,b)$ 的区域是

$$\left\{(a,b)\ \middle|\ 0\leqslant a\leqslant1,\ 0\leqslant b\leqslant1\right\}$$

——边长为 $1$ 的正方形（含边界）。

$$S=1\times1=1$$

⑥ 边界算不算？ 算。$a=1$、$b=1$ 时 $ax+by=x+y\leqslant1$ 对 $D$ 里每一点成立， 所以顶点 $(1,1)$ 是区域里的点。（边界是一条线，本来也不影响面积，但结论的形状要说对。）

解法二：先代两个特殊点得到必要条件，再用一次放缩把充分性补上

怎么想到的。 不想用任何定理时，「恒成立」有一套万能的两步走： 先随手代几个点，逼出参数的必要条件；再回头证明这些条件确实够用。 两步缺一不可——只做第一步，得到的只是「至少要满足这些」。

① 必要性：代两个顶点。 先确认它们确实在可行域里：

• $(x,y)=(1,0)$：$1\geqslant0$、$0\geqslant0$、$1+0\leqslant1$ ✓，代入得 $a\cdot1+b\cdot0=a\leqslant1$；
• $(x,y)=(0,1)$：同理在可行域里，代入得 $b\leqslant1$。

于是必须有 $a\leqslant1$ 且 $b\leqslant1$。（注意这里只用了「恒成立」的两个特例， 所以得到的是必要条件；到此为止还不能说区域就是正方形。）

② 充分性：一行放缩。 反过来设 $0\leqslant a\leqslant1$、$0\leqslant b\leqslant1$。 任取可行的 $(x,y)$，即 $x\geqslant0$、$y\geqslant0$、$x+y\leqslant1$，则

$$ax+by\ \leqslant\ 1\cdot x+1\cdot y\ =\ x+y\ \leqslant\ 1$$

第一个不等号用的是 $a\leqslant1$、$b\leqslant1$ 配上 $x\geqslant0$、$y\geqslant0$—— $x$、$y$ 的非负性是它的命根子：若 $x$ 可以取负，$ax\leqslant x$ 就反过来了。

③ 两步合起来。 必要性说「只能在这个正方形里」，充分性说「正方形里每一点都行」， 于是 $P(a,b)$ 的区域恰好是

$$\left\{(a,b)\ \middle|\ 0\leqslant a\leqslant1,\ 0\leqslant b\leqslant1\right\}, \qquad S=1$$

④ 为什么只代两个点就够。 因为第 ② 步证明了这两个条件已经充分； 代得再多也不会把区域缩得更小。反过来，如果只代 $(x,y)=\left(\tfrac12,\tfrac12\right)$， 得到的是 $a+b\leqslant2$——这是一个更弱的必要条件，单靠它会把区域说成一个更大的三角形，面积算成 $2$。 代哪个点、够不够用，只能靠第 ② 步来裁决。

解法三：把三角形切成一族平行线段，先扫线段、再扫 $s=x+y$

怎么想到的。 不引用任何线性规划的结论，也可以把二元的恒成立降成两次一元的： 三角形可以按 $x+y=s$ 切成一族平行线段（$s$ 从 $0$ 走到 $1$）； 在每条线段上 $ax+by$ 是一元一次函数，最值在端点——这是初中就会的事实。

① 切片。 令 $s=x+y$。$(x,y)$ 跑遍可行域 $\Longleftrightarrow$ $s$ 跑遍 $[0,1]$，且在每个 $s$ 上 $x$ 跑遍 $[0,s]$、$y=s-x$。

② 每条线段上的最大值。 固定 $s$，把 $y=s-x$ 代进去：

$$ax+by=ax+b(s-x)=bs+(a-b)\,x,\qquad x\in[0,s]$$

这是 $x$ 的一次函数（$a=b$ 时是常值），最大值在区间端点取到：

$$\max_{x\in[0,s]}\left(bs+(a-b)x\right)=\max\left\{bs,\ as\right\}=s\cdot\max\{a,b\}$$

（$x=0$ 给 $bs$，$x=s$ 给 $as$；取大即可，不必管 $a$、$b$ 谁大。）

③ 再扫 $s$。 于是「恒成立」等价于

$$s\cdot\max\{a,b\}\leqslant1\quad\text{对一切 }s\in[0,1]$$

左边关于 $s$ 是非负系数的正比例函数（$\max\{a,b\}\geqslant0$，因为 $a,b\geqslant0$）， $s=1$ 时最苛刻，故条件等价于

$$\max\{a,b\}\leqslant1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad a\leqslant1\ \text{且}\ b\leqslant1$$

④ 收尾。 加上 $a\geqslant0$、$b\geqslant0$，区域是单位正方形，

$$S=1\times1=1$$

⑤ 这条路用了什么。 只有两件事：「一次函数在闭区间上最值在端点」用了一次（第 ② 步）， 「正比例函数在 $[0,1]$ 上最大值在 $s=1$」又用了一次（第 ③ 步）。 没有用到顶点定理，也没有代任何特例。

三条路回头看。 解法一最快：认出「线性目标 ＋ 凸多边形」，写下三个顶点的值就完事， $\max\{0,a,b\}\leqslant1$ 这一行几乎就是答案。解法二不依赖任何定理， 代价是必须把必要与充分两头都走完——它也最能说明「代特例」的边界在哪里。 解法三把二元问题拆成两次一元问题，是三条里最「土」也最不依赖记忆的一条， 而且它顺带给出了一个更一般的结论：在这个三角形上，$\max(ax+by)=\max\{0,a,b\}$（$a$、$b$ 可正可负时也对）。

几何上看是什么。 当 $a>0$、$b>0$ 时，直线 $ax+by=1$ 在两轴上的截距是 $\dfrac1a$、$\dfrac1b$。 条件「三角形整个在 $ax+by\leqslant1$ 这一侧」就是要这条直线不切进三角形， 即两个截距都不小于 $1$：$\dfrac1a\geqslant1$、$\dfrac1b\geqslant1$，正是 $a\leqslant1$、$b\leqslant1$。 $a$ 或 $b$ 一旦超过 $1$，对应那个截距就小于 $1$，直线立刻从那个角上切下一块三角形来， 被切下的部分里的点就违反了恒成立。

换个数会怎样。 若把右边的 $1$ 换成 $k>0$，同样的推理给 $0\leqslant a\leqslant k$、$0\leqslant b\leqslant k$， 面积是 $k^{2}$；若把可行域换成 $x+y\leqslant c$（$c>0$），顶点变成 $(c,0)$、$(0,c)$， 条件变成 $ac\leqslant1$、$bc\leqslant1$，面积是 $\dfrac{1}{c^{2}}$。本题 $k=c=1$，面积恰好也是 $1$。

🕳️ 避坑

• 别把两个平面搞混。 三角形画在 $xOy$ 平面上，要求面积的区域画在 $aOb$ 平面上。 算面积的是后者；前者的面积是 $\dfrac12$，与答案无关。
• 代一个特例不等于恒成立。 只代 $\left(\tfrac12,\tfrac12\right)$ 得到 $a+b\leqslant2$， 区域会被说成一个面积为 $2$ 的三角形——它是必要条件，不是充要条件。 必要条件只能把区域框大，要收紧必须回头证充分性。
• 放缩 $ax\leqslant x$ 用到了 $x\geqslant0$。 这一步是充分性的全部力气所在； 若可行域允许负的 $x$，$a\leqslant1$ 就再也推不出 $ax\leqslant x$ 了。
• $(0,0)$ 这个顶点不是废话。 它给出的 $0\leqslant1$ 恒真，但那是因为题目额外给了 $a\geqslant0$、$b\geqslant0$； 若去掉这两条，$a$、$b$ 可以任意负，区域会变成一个无界的角形，面积无穷大。
• 边界要不要包含，说清楚。 $a=1$、$b=1$ 都满足条件（此时 $ax+by=x+y\leqslant1$）， 所以区域是闭正方形。面积不受影响，但写区域时不要漏掉等号。