浙江 2011 · 数学 q11

冷启动：三个字母里只有一个是变量

题给 $f(x)=x^{2}-|x+a|$，说它是偶函数，问实数 $a$。

先把「偶函数」这四个字兑换成能算的东西：它不是「图象看着挺对称」，而是一条恒等式——

$$f(-x)=f(x)\qquad\text{对定义域内的每一个 }x\text{ 都成立} .$$

「每一个」三个字是这道题的全部机关：只对某一个 $x$ 成立不算数，得对所有 $x$ 同时成立。 定义域这里是全体实数，天然关于原点对称，这一关先过。

再看 $f$ 的结构：$x^{2}$ 本来就是偶的（$(-x)^{2}=x^{2}$），它对偶性一点信息都不提供。 所以整道题的胜负手只在减号后面那一块：

$$f\ \text{偶}\iff |x+a|\ \text{偶} .$$

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解法一：按定义写恒等式——消去 $x^{2}$，平方，$4ax\equiv 0$

第一步，把定义写满。

$$f(-x)=(-x)^{2}-|-x+a|=x^{2}-|x-a| ,$$

（末一步用了 $|-x+a|=|-(x-a)|=|x-a|$。）于是 $f(-x)=f(x)$ 就是

$$x^{2}-|x-a|=x^{2}-|x+a| .$$

第二步，$x^{2}$ 两边抵消，剩下

$$|x-a|=|x+a|\qquad\text{对一切 }x\in\mathbb{R}\text{ 成立} .$$

第三步，平方去绝对值。 两边都非负，而 $t\mapsto t^{2}$ 在 $[0,+\infty)$ 上严格递增， 所以「$|u|=|v|$」与「$u^{2}=v^{2}$」是等价的（这一步没有丢解也没有添解）：

$$(x-a)^{2}=(x+a)^{2} \ \Longrightarrow\ x^{2}-2ax+a^{2}=x^{2}+2ax+a^{2} \ \Longrightarrow\ 4ax=0 .$$

第四步，用「对一切 $x$」这句话。 $4ax=0$ 要对每一个实数 $x$ 成立，取 $x=1$ 就得 $4a=0$， 即 $a=0$。（也可以说：$4ax$ 作为 $x$ 的一次函数恒等于零，一次项系数必须为零。）

第五步，回头验充分性。 $a=0$ 时 $f(x)=x^{2}-|x|$，而

$$f(-x)=(-x)^{2}-|-x|=x^{2}-|x|=f(x) ,$$

确实是偶函数。所以 $a=0$ 既必要又充分。

答案 $0$。

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解法二：只代一个 $x=a$——一步挤出 $a=0$，再回代补充分性

恒等式有个免费推论：对所有 $x$ 成立，那么对我随手挑的那个 $x$ 也成立。 挑得好，一步就完。

在 $|x-a|=|x+a|$ 里取 $x=a$：

$$|a-a|=|a+a| \ \Longrightarrow\ 0=|2a| \ \Longrightarrow\ a=0 .$$

一个字母都不用消。（取 $x=1$ 也行：$|1-a|=|1+a|$ 平方得 $4a=0$；但 $x=a$ 更干脆， 因为它直接把左边打成 $0$。）

这一步只给出了必要条件——它说的是「若 $f$ 是偶函数，则 $a$ 只能是 $0$」， 还没说 $a=0$ 真能让 $f$ 偶。所以必须回代：$a=0$ 时 $f(x)=x^{2}-|x|$， $f(-x)=x^{2}-|x|=f(x)$，成立。

两半都齐了，答案 $0$。

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解法三：看折点——$|x+a|$ 的唯一最低点必须落在 $y$ 轴上

这条路一个字母都不用算。

$y=|x+a|$ 的图象是一条 V 形折线：在 $x=-a$ 处取到最小值 $0$， 向左向右各是一条斜率为 $\mp 1$ 的射线。它有两个显眼的性质：

• 最低点唯一：$|x+a|=0$ 只有 $x=-a$ 一个解；
• 折点就是对称轴的位置：整条 V 关于竖直线 $x=-a$ 左右对称。

现在假设 $f$ 是偶函数。因为 $x^{2}$ 已经是偶的，$|x+a|=x^{2}-f(x)$ 也必须是偶的， 即它的图象关于 $y$ 轴对称。偶函数的最低点集一定关于原点左右成对； 而这里最低点只有孤零零一个，它只能是自己的镜像，也就是必须落在 $y$ 轴上：

$$-a=0\ \Longrightarrow\ a=0 .$$

反过来 $a=0$ 时 $|x|$ 显然是偶的，$f(x)=x^{2}-|x|$ 也就偶了。

答案 $0$。

看教学图上那条红虚线：取 $a=1$，$|x+1|$ 的折点在 $x=-1$，$f$ 的折点也就跟着落到 $(-1,1)$，离开了 $y$ 轴； 把 $x=-1$ 照到 $x=1$，函数值从 $1$ 变成了 $-1$——一对镜像点当场对不上， 这就是「折点不在 $y$ 轴上」的直接后果。

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三条路怎么选

• 解法一是标准答卷：写定义、化简、比系数、回代，四步都写在纸上，没有一步需要额外解释。 考场上填空题只要答案，这条路一分钟内能走完。
• 解法二最快，代价是必须补一句回代。它单独存在时只证明了「$a$ 只能是 $0$」， 没证明「$0$ 真的行」。填空题里少写这一步通常不扣分，但换成解答题就是漏洞。
• 解法三不算，靠图象的结构说话，适合用来理解这道题为什么答案是 $0$： $a$ 的作用就是把 V 形往左右平移，而偶性要求它待在正中间。

易错

• 把「某一点成立」当成「恒成立」。有人取 $x=0$ 代进 $|x-a|=|x+a|$，得到 $|a|=|a|$， 这对任何 $a$ 都成立，于是误以为 $a$ 可以任意取。特殊值选得不好会得到废话， 必须再换一个 $x$（详见易错点「特例成立当成恒成立」）。
• 挤出必要条件就收工。代一个 $x$ 得到 $a=0$ 后不回代，逻辑链只走了一半 （详见易错点「必要条件当成充要条件」）。
• 奇偶记反。偶函数是 $f(-x)=f(x)$、图象关于 $y$ 轴；若误写成 $f(-x)=-f(x)$， 这道题会化到 $2x^{2}=|x+a|+|x-a|$，左边是二次的、右边在 $|x|$ 大时是 $2|x|$， 根本不可能恒等，最后会得出「$a$ 不存在」的错误结论 （详见易错点「奇偶函数的对称性记反」）。
• $|-x+a|$ 化简时漏提负号。$|-x+a|=|x-a|$ 而不是 $|x+a|$；提负号提错， 两边就直接抵消成 $0=0$，题目变成「$a$ 任意」。
• 平方时不说明两边非负。这里恰好两边都是绝对值、天然非负，所以平方是等价变形； 但换成 $x-a=x+a$ 这种不带绝对值的式子直接平方，就可能凭空多出解。