套路

投影长化成数量积

一点到某条直线的垂足所截出的那段长（投影长），乘上同一条直线上另一段长，等于两个向量数量积的绝对值——于是垂足根本不用求出来。

解题套路

设 AA、PP 在同一条直线 ℓ\ell 上，BB 是直线外一点，QQ 是 BB 在 ℓ\ell 上的垂足。记 e⃗\vec e 为 ℓ\ell 的单位方向向量，则

PQ→=(PB→⋅e⃗)e⃗⟹∣PQ∣=∣PB→⋅e⃗∣\overrightarrow{PQ}=\left(\overrightarrow{PB}\cdot\vec e\right)\vec e \quad\Longrightarrow\quad |PQ|=\left|\overrightarrow{PB}\cdot\vec e\right|

而 PA→\overrightarrow{PA} 与 e⃗\vec e 共线，写成 PA→=λe⃗\overrightarrow{PA}=\lambda\vec e（∣λ∣=∣PA∣|\lambda|=|PA|）。于是

∣PA→⋅PB→∣=∣λ∣⋅∣e⃗⋅PB→∣=∣PA∣⋅∣PQ∣\left|\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\right| =\left|\lambda\right|\cdot\left|\vec e\cdot\overrightarrow{PB}\right| =|PA|\cdot|PQ|  ∣PA∣⋅∣PQ∣=∣PA→⋅PB→∣ \boxed{\ |PA|\cdot|PQ|=\left|\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\right|\ }

右边完全不含 QQ。 求垂足要联立两条直线、要除以斜率、还要单独讨论斜率为零或不存在的情形； 换成右边，这些全都消失。

什么时候想到它

题面里同时出现这三样东西，就该往这条上想：

  • 一条过两个已知点的直线（或一个动点连一个定点）；
  • 一个定点向这条直线作垂线、有个垂足；
  • 要求的是垂足截出的长度与直线上另一段长度的乘积。

两个提醒

  • 要带绝对值。 数量积可正可负，长度的乘积恒非负；符号由 PA→\overrightarrow{PA} 与 PB→\overrightarrow{PB} 的夹角是锐角还是钝角决定，跟所求无关。
  • QQ 落在射线上还是反向延长线上不影响结论。 投影长取的是绝对值， 垂足在 PP 的哪一侧只改变数量积的符号。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 5 道题考到本条。