浙江 2013 · 数学 q07

冷启动：把那个不等号翻译成一句人话

题面给的是

$$\text{对边 }AB\text{ 上任一点 }P,\quad \vec{PB}\cdot\vec{PC}\ \geqslant\ \vec{P_{0}B}\cdot\vec{P_{0}C} .$$

翻译：函数 $P\mapsto\vec{PB}\cdot\vec{PC}$ 在整条线段 $AB$ 上的最小值点是 $P_{0}$。

题目又告诉你这个最小值点在哪：$P_{0}B=\dfrac14AB$。所以本题真正在问的是——

最小值点落在离 $B$ 四分之一处，能反推出三角形的什么？

四个选项两两成对：A、B 说的是直角，C、D 说的是等腰。

先把「被点积吃掉的那一半」找出来

这一步三条路都要用，先单独摆出来。设 $H$ 是 $C$ 在直线 $AB$ 上的射影（$CH\perp AB$）。 对 $AB$ 上任一点 $P$，把 $\vec{PC}$ 拆成沿 $AB$ 与垂直 $AB$ 两段：

$$\vec{PC}=\vec{PH}+\vec{HC},\qquad \vec{HC}\perp AB .$$

而 $\vec{PB}$ 整条都躺在 $AB$ 上，故 $\vec{PB}\cdot\vec{HC}=0$，于是

$$\boxed{\ \vec{PB}\cdot\vec{PC}=\vec{PB}\cdot\vec{PH}\ }$$

$C$ 有多高，这个数量积完全不知道。 它只认 $H$ 和 $B$ 两个点。 所以本题的信息全在「$H$ 落在哪」上——而 $H$ 落在中点，正是 $CA=CB$ 的另一种说法。 下面三条路，只是把这句话说三遍。

解法一：建系直算，把恒成立作差成一条二次不等式

官方走的就是这条，把向量坐标化即可。

第一步：建系，把四个点写成坐标

以 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴、$AB$ 的中垂线为 $y$ 轴，设 $AB=4$（长度可以任取，比例才是本题的内容）：

$$A(-2,0),\quad B(2,0),\quad C(a,b)\ (b\neq0),\quad P(x,0) .$$

$P_{0}B=\dfrac14AB=1$ 定出 $P_{0}(1,0)$。注意 $P$ 在线段上，故 $x\in[-2,2]$—— 这个区间待会儿是关键。

$$\vec{PB}=(2-x,\,0),\qquad \vec{PC}=(a-x,\,b),$$ $$f(x)=\vec{PB}\cdot\vec{PC}=(2-x)(a-x)+0\cdot b=(2-x)(a-x) .$$

$b$ 果然消失了——这正是冷启动里那句话的坐标版。

第二步：作差，把「恒成立」写成一个二次式的符号

条件是 $f(x)\geqslant f(1)$ 对一切 $x\in[-2,2]$ 成立。作差定号，令

$$g(x)=f(x)-f(1)=(2-x)(a-x)-(a-1)=x^{2}-(a+2)x+(a+1) .$$

这就是官方整理出的那条式子。它必以 $x=1$ 为根（$g(1)=0$ 是作差的必然结果）， 所以能直接分解：

$$g(x)=(x-1)\bigl(x-(a+1)\bigr) .$$

两个根：$1$ 与 $a+1$。

第三步：在 $[-2,2]$ 上判 $g\geqslant0$

$g$ 开口向上，在两根之间取负值。

若 $a+1\neq1$，两根不同，$g$ 在这两根之间的开区间上处处为负。而 $1$ 是这个开区间的一个端点， 又是 $[-2,2]$ 的内点——所以 $1$ 的某个单侧邻域整段落在 $[-2,2]$ 里， 那一段上 $g<0$，与条件矛盾。

于是只能

$$a+1=1\ \Longrightarrow\ a=0 .$$

回代验证：$a=0$ 时 $g(x)=(x-1)^{2}\geqslant0$，对一切 $x$ 都成立，条件满足。

第四步：读回几何

$a=0$ 即 $C(0,b)$ 落在 $y$ 轴上，而 $y$ 轴正是 $AB$ 的中垂线，故

$$\boxed{AC=BC,\ \text{选 D}}$$

官方那句 $\Delta\leqslant0$ 要小心

官方写的是「$x^{2}-(a+2)x+(a+1)\geqslant0$ 恒成立 $\Rightarrow$ $\Delta=(a+2)^{2}-4(a+1)=a^{2}\leqslant0$」。

$\Delta\leqslant0$ 说的是「对一切实数 $x$ 成立」，而题给的只是「对 $[-2,2]$ 里的 $x$ 成立」。 后者弱，前者强——用强条件去推，推出来的东西不保证真是题设逼出来的。 这一步本身不成立，属于区间上的恒成立直接用判别式那一类。

本题它蒙对了，原因很具体：$1$ 恰好是区间 $[-2,2]$ 的内点， 所以「这段区间上非负」与「整条数轴上非负」在这里给出同一个答案。 换成 $P_{0}$ 贴着端点的题（比如条件改成对 $[1,2]$ 上的 $P$ 成立），这一步立刻给出错的范围。

顺带一提：这里也别只顾着顶点。二次函数在闭区间上的最值要看对称轴 $x=\frac{a+2}{2}$ 落在区间的哪一侧——只比极值忘了端点时，顶点跑到线段外的那些 $a$ 就漏判了。 上面第三步用「两根之间为负」绕开了这个分类，是因为根比顶点更好定位。

解法二：把数量积换成射影，最小值点是 $HB$ 的中点

一个坐标系都不建，直接用冷启动那条恒等式。这是投影长化成数量积的典型用法： 垂足 $H$ 根本不用求出来，只要知道它存在。

第一步：在直线 $AB$ 上取一维坐标

在直线 $AB$ 上取一个方向（$A\to B$ 为正）作一维坐标，设

$$A\mapsto\alpha,\quad B\mapsto\beta,\quad H\mapsto h,\quad P\mapsto x .$$

由 $\vec{PB}\cdot\vec{PC}=\vec{PB}\cdot\vec{PH}$，且两个向量同在这条直线上：

$$\vec{PB}\cdot\vec{PH}=(\beta-x)(h-x) .$$

第二步：这是关于 $x$ 的二次函数，开口向上，顶点在 $HB$ 的中点

$(\beta-x)(h-x)=x^{2}-(h+\beta)x+h\beta$，对称轴（也就是最小值点）在

$$x=\frac{h+\beta}{2} ,$$

即 $H$ 与 $B$ 的中点。这句话是本题的全部内容：$C$ 的高度、三角形的形状统统不影响， 最小点只由 $H$、$B$ 定。

第三步：题给最小点是 $P_{0}$，反解 $h$

$P_{0}$ 是线段 $AB$ 的内点（$P_{0}B=\frac14AB$，离两端都有距离）， 而开口向上的二次函数在线段上的最小点若不是顶点，就一定落在端点上。 $P_{0}$ 不是端点，所以它只能是顶点本身：

$$p_{0}=\frac{h+\beta}{2}\ \Longrightarrow\ h=2p_{0}-\beta .$$

代入 $p_{0}=\beta-\dfrac14(\beta-\alpha)$：

$$h=2\beta-\frac12(\beta-\alpha)-\beta=\beta-\frac{\beta-\alpha}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2} .$$

第四步：读回几何

$h=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ 就是「$H$ 是 $AB$ 的中点」。于是 $CH$ 既垂直 $AB$ 又平分 $AB$， 是 $AB$ 的中垂线，中垂线上的点到两端等距：

$$\boxed{CA=CB,\ \text{选 D}}$$

上块是解法二：数量积换成射影之后，图上只剩 $H$、$B$ 两个点说了算， 而 $P_{0}$ 是 $HB$ 的中点这件事，把 $H$ 一路逼到 $AB$ 的中点。 下块是解法一：三条曲线都过 $(P_{0},0)$（作差的必然结果）， 但只有 $a=0$ 那条不掉到 $0$ 以下——红的两条一掉下去，就存在比 $P_{0}$ 更小的 $P$，与题设矛盾。

解法三：不建系，在 $P_{0}$ 处展开——一阶项必须为零

前两条路都先算出了整条曲线，其实只用 $P_{0}$ 附近那一小段就够。

第一步：把每个 $P$ 写成从 $P_{0}$ 出发的位移

设 $\vec e$ 是 $A\to B$ 方向的单位向量，任一点 $P$ 满足 $\vec{P_{0}P}=t\,\vec e$， $t$ 是有向长度。$P_{0}$ 是线段的内点，所以 $t$ 能取到 $0$ 两侧的一小段 （$-\frac34AB<t<\frac14AB$）——这一条待会儿是命门。

$$\vec{PB}=\vec{P_{0}B}-t\vec e,\qquad \vec{PC}=\vec{P_{0}C}-t\vec e .$$

第二步：作差，把 $t$ 的一次项和二次项分开

$$\vec{PB}\cdot\vec{PC} =\vec{P_{0}B}\cdot\vec{P_{0}C} -t\,\vec e\cdot\bigl(\vec{P_{0}B}+\vec{P_{0}C}\bigr)+t^{2}\,\vec e\cdot\vec e ,$$

而 $\vec e\cdot\vec e=1$。记 $c=\vec e\cdot\bigl(\vec{P_{0}B}+\vec{P_{0}C}\bigr)$，条件即

$$t^{2}-ct\geqslant0,\qquad\text{即}\qquad t(t-c)\geqslant0$$

对 $0$ 两侧那一小段里的每个 $t$ 都成立。

第三步：一阶项必须为零

若 $c\neq0$，取 $t$ 与 $c$ 同号且 $|t|<|c|$、同时 $|t|$ 小到落在可取范围内 （因为可取范围含 $0$ 的一个邻域，这样的 $t$ 一定存在），则 $t$ 与 $t-c$ 异号， $t(t-c)<0$，与条件矛盾。故

$$c=\vec e\cdot\vec{P_{0}B}+\vec e\cdot\vec{P_{0}C}=0 .$$

这就是「内点处取到最小值 $\Rightarrow$ 一阶项为零」，就算还没学到求导，它也用得上： 二次项是正的，所以只要一次项不为零，往它的反方向挪一点点就一定变小。

第四步：把两个投影读出来

$\vec e\cdot\vec{P_{0}B}$ 是 $\vec{P_{0}B}$ 在 $\vec e$ 上的有向投影。$B$ 在 $\vec e$ 的正向，故

$$\vec e\cdot\vec{P_{0}B}=P_{0}B=\frac14AB .$$

$\vec e\cdot\vec{P_{0}C}$ 是 $\vec{P_{0}C}$ 的有向投影，也就是 $\vec{P_{0}H}$ 的有向长度 （垂直那一半照例被吃掉）。代进 $c=0$：

$$\vec{P_{0}H}\ \text{的有向长度}=-\frac14AB ,$$

即 $H$ 在 $P_{0}$ 的 $A$ 那一侧、距离 $\dfrac14AB$。于是

$$HB=HP_{0}+P_{0}B=\frac14AB+\frac14AB=\frac12AB ,$$

$H$ 是 $AB$ 的中点，同前：

$$\boxed{AC=BC,\ \text{选 D}}$$

旁注：C 这个选项不是算错，是「不必然」

A、B 两个选项一眼可否：

• $\angle ABC=90^{\circ}$（选项 A）：此时 $CB\perp AB$，垂足 $H$ 就是 $B$ 自己， 最小值点是 $HB$ 的中点 $=B$。它是端点，不是 $P_{0}$。
• $\angle BAC=90^{\circ}$（选项 B）：同理 $H=A$，最小值点是 $AB$ 的中点，也不是 $P_{0}$。

$AB=AC$（选项 C）值得多说一句。在 $A(-2,0)$、$B(2,0)$ 下设 $AC=AB=4$， $C=(-2+4\cos\theta,\,4\sin\theta)$，于是 $h=-2+4\cos\theta$，最小值点在

$$\frac{h+2}{2}=2\cos\theta .$$

要它等于 $1$，得 $\cos\theta=\dfrac12$，$C=(0,2\sqrt3)$——这时 $a=0$， 三角形是等边的，$AC=BC$ 同时也成立。

也就是说：满足题设的三角形里，有一部分（等边那一个）确实 $AB=AC$， 但绝大多数不是。选项 C 可能对，不必然对；而 D 是每一个满足题设的三角形都有的。 选择题问的是「则」，要的是必然。

三条路怎么选

考场上最稳的是解法二：一句「数量积只吃水平那一半」之后，题目就变成小学的中点问题， $20$ 秒能出。解法一胜在无脑——不用想，代坐标就能算完，适合看不出射影那一步时兜底。 解法三是解法二的「显微镜版」，在最值点附近展开，遇到不是二次的目标时它照样管用。

一句话带走

一个向量与一条定直线上的向量作数量积时，它垂直于该直线的那一半是白给的。 把 $\vec{PC}$ 换成它的射影 $\vec{PH}$，本题当场塌成 $(\beta-x)(h-x)$ 这样一个开口向上的二次式——最小值点是两根的中点，也就是 $HB$ 的中点。 题目给的 $P_{0}B=\frac14AB$ 就是在告诉你这个中点在哪，反解一步得 $H$ 是 $AB$ 的中点， 即 $C$ 在中垂线上。