浙江 2017 · 数学 q21

冷启动：先把三个点都放到抛物线上

题面给的是抛物线 $x^2=y$（也就是熟悉的 $y=x^2$），以及

$$A\left(-\frac12,\ \frac14\right),\qquad B\left(\frac32,\ \frac94\right),\qquad P(x,\ y)\ \left(-\frac12<x<\frac32\right)$$

第一件该注意的事：$A$ 和 $B$ 也在这条抛物线上（$\left(-\frac12\right)^2=\frac14$，$\left(\frac32\right)^2=\frac94$）。 而且 $A$、$B$ 的横坐标恰好就是 $x$ 的两个边界——所以 $P$ 是抛物线上 $A$ 与 $B$ 之间的动点， 且不许跑到 $A$、$B$ 上去。

$P$ 在抛物线上，所以可以只用一个字母描述它：

$$P\left(x,\ x^2\right),\qquad -\frac12<x<\frac32$$

第（Ⅰ）问问 $AP$ 的斜率范围，第（Ⅱ）问要 $|PA|\cdot|PQ|$ 的最大值，其中 $Q$ 是 $B$ 到直线 $AP$ 的垂足。 两问是接力的：第（Ⅰ）问算出的斜率 $k$，正是第（Ⅱ）问最省事的那个自变量。

第（Ⅰ）问：斜率其实是一次函数

$$k_{AP}=\frac{x^2-\frac14}{x-\left(-\frac12\right)}=\frac{\left(x-\frac12\right)\left(x+\frac12\right)}{x+\frac12}=x-\frac12$$

约分是合法的，因为 $x>-\dfrac12$ 保证 $x+\dfrac12\neq 0$。抛物线上两点连线的斜率，等于两点横坐标之和—— 这里就是 $x+\left(-\dfrac12\right)$。$x$ 在 $\left(-\dfrac12,\dfrac32\right)$ 上跑，两端各减 $\dfrac12$：

$$\boxed{\,k\in(-1,\ 1)\,}$$

区间是开的：$x$ 取不到两个端点（那会让 $P$ 与 $A$ 或 $B$ 重合），所以 $k$ 也取不到 $\pm 1$。 这一句到第（Ⅱ）问还要用——换元时新变量的范围必须一起搬过去。

解法一：老实求出垂足，两段长都写成水平跨度乘同一个根号

第一步：把所有点都用 $k$ 写出来

由第（Ⅰ）问，$k=x-\dfrac12$，反过来 $x=k+\dfrac12$，于是

$$P\left(k+\frac12,\ \left(k+\frac12\right)^2\right),\qquad k\in(-1,1)$$

直线 $AP$ 过 $A\left(-\dfrac12,\dfrac14\right)$、斜率 $k$：

$$\ell_{AP}:\ y=k\left(X+\frac12\right)+\frac14$$

第二步：垂足 $Q$——先把 $k=0$ 单独放一边

$k\neq 0$ 时，过 $B\left(\dfrac32,\dfrac94\right)$ 且垂直于 $\ell_{AP}$ 的直线斜率为 $-\dfrac1k$：

$$\ell_{BQ}:\ y=-\frac1k\left(X-\frac32\right)+\frac94$$

$k=0$ 时这条式子没有意义——那时 $\ell_{AP}$ 是水平线，过 $B$ 的垂线是竖直线 $X=\dfrac32$， 斜率不存在。这一支必须单独算（见第四步），漏掉它就是丢了一个 $k$ 值。

联立两式解出 $Q$ 的横坐标。把两个 $y$ 相等：

$$k\left(X+\frac12\right)+\frac14=-\frac1k\left(X-\frac32\right)+\frac94$$

两边乘 $k$ 再整理，得

$$X_Q=\frac{3+4k-k^2}{2\left(k^2+1\right)}$$

第三步：两段长都在同一条直线上，只差一个公共因子

$PA$ 与 $PQ$ 都落在直线 $\ell_{AP}$ 上，斜率同为 $k$。一条斜率为 $k$ 的直线上， 两点间的距离 $=$ 横坐标之差的绝对值 $\times\sqrt{1+k^2}$。于是只要算两个水平跨度。

$$X_P-X_A=\left(k+\frac12\right)-\left(-\frac12\right)=k+1>0 \quad\Longrightarrow\quad |PA|=(k+1)\sqrt{1+k^2}$$ $$X_Q-X_P=\frac{3+4k-k^2}{2\left(k^2+1\right)}-\frac{2k+1}{2} =\frac{3+4k-k^2-(2k+1)\left(k^2+1\right)}{2\left(k^2+1\right)}$$

分子展开：$(2k+1)(k^2+1)=2k^3+k^2+2k+1$，所以

$$3+4k-k^2-2k^3-k^2-2k-1=-2k^3-2k^2+2k+2=-2(k+1)\left(k^2-1\right)=2(k+1)^2(1-k)$$

（中间一步是提公因式：$k^3+k^2-k-1=k^2(k+1)-(k+1)=(k+1)(k^2-1)$。）故

$$X_Q-X_P=\frac{(k+1)^2(1-k)}{k^2+1}>0 \quad\Longrightarrow\quad |PQ|=\frac{(k+1)^2(1-k)}{k^2+1}\cdot\sqrt{1+k^2} =\frac{(k+1)^2(1-k)}{\sqrt{1+k^2}}$$

两式相乘，$\sqrt{1+k^2}$ 正好约掉：

$$\boxed{\,|PA|\cdot|PQ|=(1+k)^3(1-k),\qquad k\in(-1,1)\,}$$

第四步：补上 $k=0$ 那一支

$k=0$ 时 $P\left(\dfrac12,\dfrac14\right)$，$\ell_{AP}$ 是水平线 $y=\dfrac14$， 过 $B$ 的垂线是 $X=\dfrac32$，故 $Q\left(\dfrac32,\dfrac14\right)$。于是

$$|PA|=\left|\frac12-\left(-\frac12\right)\right|=1,\qquad |PQ|=\left|\frac32-\frac12\right|=1,\qquad |PA|\cdot|PQ|=1$$

而闭式在 $k=0$ 处给出 $(1+0)^3(1-0)=1$——对得上。所以那条式子在整个 $(-1,1)$ 上都成立。

第五步：求这个三次函数的最大值

记 $h(k)=(1+k)^3(1-k)$，$k\in(-1,1)$。求导（乘法法则）：

$$h'(k)=3(1+k)^2(1-k)+(1+k)^3\cdot(-1)=(1+k)^2\bigl[3(1-k)-(1+k)\bigr]=(1+k)^2(2-4k)$$

也就是 $h'(k)=-2(1+k)^2(2k-1)$。在 $k\in(-1,1)$ 上 $(1+k)^2>0$，所以

$$h'(k)>0\iff k<\frac12,\qquad h'(k)<0\iff k>\frac12$$

先增后减，唯一的最高点在 $k=\dfrac12$。

$$h\left(\frac12\right)=\left(\frac32\right)^3\cdot\frac12=\frac{27}{8}\cdot\frac12=\frac{27}{16}$$

$k=\dfrac12$ 落在开区间 $(-1,1)$ 里，取得到。两端 $k\to\pm1$ 时 $h\to0$，都够不到。

$$\boxed{\,|PA|\cdot|PQ|\ \text{的最大值是}\ \frac{27}{16}\,}$$

（此时 $x=k+\dfrac12=1$，即 $P(1,1)$——图①画的就是这个位置。）

解法二：投影一句话把垂足消掉，乘积就是两个向量的数量积

这条路的用意是：垂足 $Q$ 是本题唯一麻烦的东西，而它其实可以完全不求。

第一步：一句几何事实

$Q$ 是 $B$ 在直线 $AP$ 上的垂足，所以线段 $PQ$ 就是 $\overrightarrow{PB}$ 在直线 $AP$ 方向上的投影。 记 $\vec e$ 为 $AP$ 方向的单位向量，则

$$\overrightarrow{PQ}=\left(\overrightarrow{PB}\cdot\vec e\right)\vec e \quad\Longrightarrow\quad |PQ|=\left|\overrightarrow{PB}\cdot\vec e\right|$$

而 $\overrightarrow{PA}$ 也在这条直线上，写成 $\overrightarrow{PA}=\lambda\vec e$，其中 $|\lambda|=|PA|$。于是

$$\left|\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\right| =\left|\lambda\right|\cdot\left|\vec e\cdot\overrightarrow{PB}\right|=|PA|\cdot|PQ|$$ $$\boxed{\,|PA|\cdot|PQ|=\left|\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\right|\,}$$

右边一个 $Q$ 都没有。 不用联立、不用除以 $k$、也没有「斜率不存在」这一支要单独讨论。

第二步：把这个数量积算出来

$P\left(x,x^2\right)$，两个向量是

$$\overrightarrow{PA}=\left(-\frac12-x,\ \frac14-x^2\right),\qquad \overrightarrow{PB}=\left(\frac32-x,\ \frac94-x^2\right)$$

两个纵坐标都能分解：$\dfrac14-x^2=\left(\dfrac12-x\right)\left(\dfrac12+x\right)$， $\dfrac94-x^2=\left(\dfrac32-x\right)\left(\dfrac32+x\right)$。于是

$$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} =-\left(x+\frac12\right)\left(\frac32-x\right) +\left(x+\frac12\right)\left(\frac12-x\right)\left(\frac32-x\right)\left(\frac32+x\right)$$

两项都含 $\left(x+\dfrac12\right)\left(\dfrac32-x\right)$，提出来：

$$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} =\left(x+\frac12\right)\left(\frac32-x\right)\left[-1+\left(\frac12-x\right)\left(\frac32+x\right)\right]$$

方括号里：$\left(\dfrac12-x\right)\left(\dfrac32+x\right)=\dfrac34-x-x^2$，减 $1$ 得

$$-\frac14-x-x^2=-\left(x+\frac12\right)^2$$

又是一个完全平方。 代回去：

$$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=-\left(x+\frac12\right)^3\left(\frac32-x\right)$$

$-\dfrac12<x<\dfrac32$ 时两个括号都为正，所以

$$|PA|\cdot|PQ|=\left(x+\frac12\right)^3\left(\frac32-x\right)$$

第三步：换成一个更好看的变量

令 $u=x+\dfrac12$。$x$ 从 $-\dfrac12$ 跑到 $\dfrac32$ 时 $u$ 从 $0$ 跑到 $2$，两端都取不到：

$$u\in(0,\ 2),\qquad \frac32-x=2-u$$

于是要求的是

$$\varphi(u)=u^3(2-u),\qquad u\in(0,2)$$

（把 $u=1+k$ 代进去就是解法一的 $(1+k)^3(1-k)$——两条路殊途同归。）

第四步：求最大

$$\varphi'(u)=3u^2(2-u)+u^3\cdot(-1)=u^2(6-3u-u)=u^2(6-4u)$$

$u\in(0,2)$ 上 $u^2>0$，故 $\varphi'>0\iff u<\dfrac32$，$\varphi'<0\iff u>\dfrac32$：先增后减。

$$\varphi\left(\frac32\right)=\left(\frac32\right)^3\cdot\left(2-\frac32\right)=\frac{27}{8}\cdot\frac12=\frac{27}{16}$$

$u=\dfrac32$ 在开区间 $(0,2)$ 内，取得到；两端 $\varphi\to 0$，都够不到。所以最大值是 $\dfrac{27}{16}$， 此时 $x=u-\dfrac12=1$，即 $P(1,1)$——与解法一一致。

回头看：两条路各自强在哪儿

三条可以带走的经验：

1. 抛物线上两点连线的斜率 $=$ 两点横坐标之和。 这道题第（Ⅰ）问就是它， 一步约分省掉整段计算。
2. 看见「垂足 + 同一条线上另一段长的乘积」，先想数量积。 垂足是用来被消掉的， 不是用来求的。
3. 换元时把范围一起搬过去。 $k\in(-1,1)$、$u\in(0,2)$ 都是开区间； 最大值恰好落在内部才取得到，若最优点跑到端点上，答案就该改成「取不到」。