换元后漏掉新变量的取值范围

坑长什么样

设 $t=\cos\alpha$，题给的约束化出 $t\geqslant\frac34$，目标函数化成 $g(t)=\dfrac{4+4t}{5+3t}$。$g$ 递增，于是「$t$ 越小 $g$ 越小」——

顺手写：$t$ 可以一直小下去，$g$ 就没有最小值。

错在只搬来了约束给的那一侧。$t$ 是余弦，天生有 $-1\leqslant t\leqslant1$； 与约束取交之后 $t\in\left[\frac34,1\right]$，是一个闭区间，最小值 $g\!\left(\frac34\right)=\frac{28}{29}$ 稳稳取到。同一个坑的另一半是把上界也忘了，于是「最大值」跑到 $t\to+\infty$ 的渐近线 $\frac43$ 上去， 而 $\frac43$ 根本不是任何一个角能给出的值。

范围会变的换元，常见的就这几类：

自检

• 换元那一行右边，立刻写出新变量的范围——两件事写在同一行，就漏不掉。 范围有两个来源：换元函数本身的值域 与 题目的约束，取交集。
• 最值点回代验证：算出的极值点 $t_0$ 一定要能反解回原变量 （$t_0=\cos\alpha\Rightarrow\alpha=\arccos t_0$ 存在）。反解不回去，就是范围搞丢了。
• 区间端点开闭要交代：闭端点上的值取得到，写「最小值为」；开端点上取不到，只能写 「大于」或「下界为」。
• 对着原式验一次数：把 $t_0$ 对应的原变量代回没换元前的式子，算出来的数应与 换元后的答案一致；不一致就是换元过程漏了条件。