浙江 2008 · 数学 q05

冷启动：交点个数 = 方程的解的个数

题目给的是一条曲线与一条水平直线：

$$y=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}\right)\ \ \bigl(x\in[0,2\pi]\bigr), \qquad y=\frac{1}{2}$$

问它们交几个点。

第一步先把「交点」翻译成「解」：一个交点就是一个同时落在两条线上的点， 横坐标 $x$ 必须让两个 $y$ 相等。所以

$$\text{交点个数}=\text{方程 }\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\ \text{在 }[0,2\pi]\ \text{上解的个数}$$

第二步盯住那个定义域。 题面把 $x$ 限死在 $[0,2\pi]$ 里——这一句是本题的全部难点所在。 三角方程在整条实数轴上有无穷多解，答案却是个有限的数，全靠这一句把范围掐住。 下面三条路各有各的掐法，但每一条都必须在某个地方把这个区间用掉一次， 用漏了就会得到 $0$ 或 $4$ 之类的数——正好是另外几个选项。

第三步看一眼那个 $\frac{x}{2}$。 里面是 $\frac{x}{2}$ 不是 $2x$：横坐标被拉长了一倍， 周期从 $2\pi$ 变成 $4\pi$，于是 $[0,2\pi]$ 只装得下半个周期。把 $\frac{x}{2}$ 看成 $2x$， 周期会缩成 $\pi$、区间里塞进两个整周期，交点数当场翻倍变成 $4$（选项 D）。

解法一：先用诱导公式化成 $\sin\frac{x}{2}$，再解方程

怎么想到的。 括号里那个 $\frac{3\pi}{2}$ 是 $\frac{\pi}{2}$ 的整数倍， 这正是 诱导公式 管的事——「$\frac{\pi}{2}$ 的整数倍加减一个角」的余弦，一定能写回 $\pm\sin$ 或 $\pm\cos$。 先把函数化到最简，再解方程，是最省事的顺序。

① 化简。 记 $\theta=\frac{x}{2}$，把 $\frac{3\pi}{2}$ 拆成 $\frac{\pi}{2}+\pi$，分两步用公式：

$$\cos\left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\left(\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)+\pi\right) =-\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-(-\sin\theta)=\sin\theta$$

（两步各用一条：$\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha$，$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\alpha$。 两个负号相乘变正——这里是本题最容易出错的一处，下面避坑还会再说。）

于是原函数就是

$$y=\sin\frac{x}{2},\qquad x\in[0,2\pi]$$

② 换掉自变量，顺手换掉区间。 令 $u=\frac{x}{2}$。$x$ 在 $[0,2\pi]$ 上跑，$u$ 就在

$$u=\frac{x}{2}\in\left[0,\ \pi\right]$$

上跑（$x\mapsto\frac x2$ 是严格递增的一一对应，所以 $x$ 与 $u$ 的解一个对一个， 数 $u$ 的解个数就是数 $x$ 的解个数）。方程变成

$$\sin u=\frac{1}{2},\qquad u\in[0,\pi]$$

③ 在 $[0,\pi]$ 上解它——有两个，不是一个。 $\sin u=\frac12$ 的解是 $u=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ 与 $u=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$ 两族（正弦在一个周期里取同一个正值有两次：一次在上升段、一次在下降段）。 落在 $[0,\pi]$ 里的是

$$u=\frac{\pi}{6}\quad\text{与}\quad u=\frac{5\pi}{6}$$

（$k$ 取别的整数都会跑出 $[0,\pi]$：$\frac{\pi}{6}+2\pi>\pi$，$\frac{\pi}{6}-2\pi<0$，另一族同理。）

④ 回到 $x$。 $x=2u$，得

$$x=\frac{\pi}{3}\quad\text{与}\quad x=\frac{5\pi}{3}$$

两个都在 $[0,2\pi]$ 内（$\frac{5\pi}{3}<2\pi$），所以交点有 2 个，选 C。

解法二：不化简，把整块设成一个角，在它自己的区间里解

怎么想到的。 解法一先化简、再换元，等于换了两次元。其实可以一次都不化简： 括号里那一整块 $\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}$ 本来就是一个角，把它整个设成 $t$（整体代换）， 方程立刻变成最干净的 $\cos t=\frac12$。代价是要把 $x$ 的区间翻译成 $t$ 的区间—— 这一步做对了，这条路比解法一还短；做漏了，答案就全错。

① 设。 令

$$t=\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}$$

② 把区间翻译过去。 $x\mapsto t$ 是一次函数、斜率 $\frac12>0$，所以严格递增， 是 $[0,2\pi]$ 到它像集上的一一对应（于是 $t$ 的解与 $x$ 的解一个对一个，数谁都行）。端点各代一次：

$$x=0\Rightarrow t=\frac{3\pi}{2},\qquad x=2\pi\Rightarrow t=\pi+\frac{3\pi}{2}=\frac{5\pi}{2}$$ $$\boxed{\ t\in\left[\frac{3\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2}\right]\ }$$

注意这个区间的长度恰好是 $\pi$（$\frac{5\pi}{2}-\frac{3\pi}{2}=\pi$），只有余弦周期 $2\pi$ 的一半—— 这就是「$[0,2\pi]$ 只是半个周期」那句话在 $t$ 这一侧的样子。

③ 解 $\cos t=\frac12$。 余弦取同一个值的角有两族（关于 $t=2k\pi$ 对称）：

$$t=\frac{\pi}{3}+2k\pi\quad\text{或}\quad t=-\frac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbf{Z}$$

④ 挑出落在 $\left[\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right]$ 里的。 把区间换算成 $\pi$ 的倍数看得最清楚： 区间是 $[1.5\pi,\ 2.5\pi]$。

• 第一族：$k=1$ 给 $t=\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{7\pi}{3}\approx 2.33\pi$，在区间里； $k=0$ 给 $\frac{\pi}{3}\approx0.33\pi$、$k=2$ 给 $\approx4.33\pi$，都不在。
• 第二族：$k=1$ 给 $t=-\frac{\pi}{3}+2\pi=\frac{5\pi}{3}\approx1.67\pi$，在区间里； $k=0$ 给 $-\frac\pi3<0$、$k=2$ 给 $\approx3.67\pi$，都不在。

恰好 2 个 $t$，因而 2 个 $x$，选 C。

⑤ 顺手把 $x$ 解出来对账。 由 $t=\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}$ 反解 $x=2\left(t-\frac{3\pi}{2}\right)$：

$$t=\frac{5\pi}{3}\Rightarrow x=2\left(\frac{5\pi}{3}-\frac{3\pi}{2}\right)=2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}, \qquad t=\frac{7\pi}{3}\Rightarrow x=2\left(\frac{7\pi}{3}-\frac{3\pi}{2}\right)=2\cdot\frac{5\pi}{6}=\frac{5\pi}{3}$$

与解法一算出的两个横坐标一模一样。

解法三：$[0,2\pi]$ 恰是半个周期——一道拱，水平线切两刀

怎么想到的。 前两条路都在解方程。可题目问的只是个数，不是解本身—— 那就别解，直接看图象法数交点：把曲线画出来，看水平线穿过它几次。 要画图就得先知道曲线长什么样，所以这条路也要先化简一次。

① 化简，得到要画的函数。 与解法一同样地拆 $\frac{3\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi$， 用 $\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha$ 与 $\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\alpha$ 两步，得

$$y=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin\frac{x}{2}$$

② 算出周期，再看区间装得下多少。 $y=\sin\omega x$ 的周期是 $\frac{2\pi}{\omega}$，这里 $\omega=\frac12$，故

$$T=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi$$

而定义域长 $2\pi=\frac{T}{2}$——恰好半个周期。

③ 半个周期的正弦长什么样：一道拱。 $x$ 从 $0$ 走到 $2\pi$ 时，$u=\frac{x}{2}$ 从 $0$ 走到 $\pi$， 而 $\sin u$ 在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 上从 $0$ 严格升到 $1$、在 $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$ 上 从 $1$ 严格降回 $0$。换回 $x$：曲线在 $[0,\pi]$ 上从 $(0,0)$ 严格升到最高点 $(\pi,1)$， 再在 $[\pi,2\pi]$ 上严格降回 $(2\pi,0)$——一道完整的拱，不多不少。

④ 数水平线切几刀。 水平线的高度 $\frac12$ 满足

$$0<\frac12<1$$

即严格夹在拱的底与顶之间。于是：

• 在上升段 $[0,\pi]$ 上，函数由 $0$ 连续严格增到 $1$，$\frac12$ 在两端值之间， 所以恰有一个 $x$ 使函数值等于 $\frac12$（连续 + 严格单调 ⟹ 有且只有一个）；
• 在下降段 $[\pi,2\pi]$ 上，函数由 $1$ 连续严格减到 $0$，同理恰有一个；
• 两段只在 $x=\pi$ 处相接，而那里函数值是 $1\neq\frac12$，不会重复计数。

合计 2 个交点，选 C。

这条路为什么值得单独写。 它根本没解方程，却回答了一类问题：把 $\frac12$ 换成任意高度 $h$， 答案立刻读得出来——$h>1$ 或 $h<0$ 时 $0$ 个，$h=1$ 时 $1$ 个（顶点），$0\leq h<1$ 时 $2$ 个 （$h=0$ 时是两个端点 $x=0$ 与 $x=2\pi$）。前两条路每换一个 $h$ 都要重解一次。

三条路回头看。 解法一最直；它把陌生的 $\cos\left(\cdot+\frac{3\pi}{2}\right)$ 先变成熟悉的 $\sin$， 之后是每个人都会的「$\sin u=\frac12$ 在一段上有几个解」。解法二一步都不化简， 把整块设成一个角——好处是绕开了诱导公式那两个负号（本题最大的错源）， 代价是要把区间准确翻译成 $\left[\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right]$，翻译错了全盘皆错。 解法三不解方程，只看那道拱的形状与水平线的高度；对「个数」这类问法最省力， 而且换个高度还能立刻再答一次。三条路给出的两个横坐标 $\frac{\pi}{3}$ 与 $\frac{5\pi}{3}$ 完全一致。

四个选项，正好对应四种错法。 $0$（A）来自把化简结果写成 $-\sin\frac{x}{2}$—— 那条曲线在 $[0,2\pi]$ 上恒 $\leq 0$，永远够不到 $\frac12$；$1$（B）来自解 $\sin u=\frac12$ 时 只取了 $u=\frac{\pi}{6}$、漏掉 $\frac{5\pi}{6}$；$4$（D）来自把 $\frac{x}{2}$ 看成 $2x$， 周期缩成 $\pi$、区间里塞进两道整波、交点翻倍。

🕳️ 避坑

• $\cos\left(\theta+\frac{3\pi}{2}\right)=+\sin\theta$，不是 $-\sin\theta$。 记牢 $\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\theta$ 的人，容易把 $\frac{3\pi}{2}$ 也照搬成负号。 拆成 $\frac{\pi}{2}+\pi$ 走两步（多一个 $\pi$ 就多一个负号，两负得正），或者随手代 $\theta=0$ 验一下： $\cos\frac{3\pi}{2}=0=\sin 0$ ✓；再代 $\theta=\frac{\pi}{2}$：$\cos 2\pi=1=\sin\frac{\pi}{2}$ ✓， 两次都对上，符号就定了。代两个特殊值验符号，比背表可靠。
• $\sin u=\frac12$ 在一段里通常有两个解。 正弦在一个周期里取同一个正值两次（上升一次、下降一次）。 本题 $u\in[0,\pi]$ 正好把这两次都装了进来。只写 $u=\frac{\pi}{6}$ 就漏掉一半，得到选项 B。
• 换元一定要把区间跟着换。 解法一把 $x\in[0,2\pi]$ 换成 $u\in[0,\pi]$、 解法二换成 $t\in\left[\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\right]$，都是必须做的一步。 忘了换、拿着新变量在整条实数轴上解，会得到无穷多个解；换错端点则会多数或少数一个。
• $\frac{x}{2}$ 让周期变长，不是变短。 $\omega=\frac12<1$ 时周期 $\frac{2\pi}{\omega}=4\pi$ 比 $2\pi$ 大， 图象被横向拉开。把它记反（以为压缩）就会以为区间里有好几道波，数出 $4$ 个交点。