5.3 诱导公式

这一节给出五组诱导公式（连上一节的公式一共六组）。它们看着多，其实全部来自单位圆上的对称： 两个角的终边如果关于某条线（或某个点）对称，那么它们与单位圆的交点坐标就有确定的关系， 三角函数值也就跟着有确定的关系。

所以这一节的讲法是：先把”对称 → 坐标 → 函数值”这条链子说透，再把六组公式装进一句口诀， 最后给一套化简的固定流程。公式不必硬背，能现推的才靠得住。

一、一条链子：对称怎么变成公式

设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于 $P(x, y)$，则 $\cos\alpha = x$、$\sin\alpha = y$。 现在看四种对称：

前三行分别是公式二、公式三、公式四，第四行是公式五；把公式五的结果再关于 $y$ 轴对称一次 就得到公式六：

$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos\alpha, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin\alpha.$

正切的那一行由商数关系跟着出来：

$\tan(\pi+\alpha) = \tan\alpha, \qquad \tan(-\alpha) = -\tan\alpha, \qquad \tan(\pi-\alpha) = -\tan\alpha.$

（连同上一节的公式一 $\sin(\alpha+k\cdot2\pi) = \sin\alpha$ 等，六组合称诱导公式。）

看懂这张表，六组公式就都是推出来的，不是背出来的。 忘了某一条时， 在草稿纸上画个单位圆、点一个 $P(x,y)$、按对称写出另一个点的坐标，两秒钟就能恢复。

二、一句口诀：奇变偶不变，符号看象限

六组公式可以统一成一句话。把角写成 $\dfrac{k\pi}{2} \pm \alpha$（$k \in \mathbf{Z}$）的样子，则

奇变偶不变，符号看象限。

• “奇变偶不变”说的是函数名：$k$ 为奇数时 $\sin$ 与 $\cos$ 互换（$\tan$ 变 $\cot$，本册不涉及）； $k$ 为偶数时函数名不变。 例如 $\frac{\pi}{2}+\alpha$（$k=1$，奇）里 $\sin$ 变 $\cos$；$\pi - \alpha$（$k=2$，偶）里 $\sin$ 还是 $\sin$。
• “符号看象限”说的是正负号：把 $\alpha$ 当作锐角，看整个角 $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$ 落在第几象限，那个象限里原来那个函数的符号，就是公式右边的符号。 例如 $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$：把 $\alpha$ 当锐角，$\frac{\pi}{2}+\alpha$ 在第二象限， 第二象限里 $\cos$ 为负，所以右边取负号——再由”奇变”把 $\cos$ 换成 $\sin$， 得 $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin\alpha$ ✓。

“把 $\alpha$ 当锐角”只是定符号时的一个技巧，不是说 $\alpha$ 真的必须是锐角—— 公式对一切使两边有意义的 $\alpha$ 都成立。

三、化简的固定流程

遇到一堆诱导公式套在一起的式子（课本例 4 那种），按这个顺序做，几乎不会乱：

1. 先减周期。 用公式一把每个角里的 $2k\pi$ 去掉，把角压到 $[0, 2\pi)$ 或写成 $\frac{k\pi}{2} \pm \alpha$（$k = 0,1,2,3$）的样子。例如 $\frac{11\pi}{2} - \alpha = 5\pi + \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$，$\frac{9\pi}{2}+\alpha = 4\pi + \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$。
2. 逐个用公式化成 $\alpha$ 的三角函数（口诀：奇变偶不变、符号看象限）。
3. 合并同类，能约的约掉，最后往往化成 $\pm\tan\alpha$、$\pm 1$、$\sin^2\alpha$ 这种干净的形状。

互余是另一条常用线索：看到两个角加起来是 $\frac{\pi}{2}$（或 $90^\circ$）， 立刻想到公式五——课本例 5 里 $(53^\circ-\alpha) + (37^\circ+\alpha) = 90^\circ$， 于是 $\sin(37^\circ+\alpha) = \cos(53^\circ-\alpha)$，问题就转成了求余弦。 看到”两个角之和是特殊角”，先把它们凑起来，别急着展开。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 符号丢了。 口诀的后半句”符号看象限”是最容易跳过的一步。
2. 奇偶数错。 $\frac{k\pi}{2}$ 里的 $k$ 是半周期的个数：$\pi - \alpha$ 的 $k$ 是 $2$（偶，不变）， $\frac{\pi}{2}-\alpha$ 的 $k$ 是 $1$（奇，要变）。
3. 化简后忘了定义域。 出现 $\tan$ 时要注明分母不为零；本节的等式都是在 两边都有意义的前提下成立的（课本明确约定过）。
4. 求值时不定象限就开方。 诱导公式只换角，不解决”$\sin$ 已知求 $\cos$“那一步的符号—— 那还得回到上一节的平方关系与象限判断（课本例 5 就先用 $-270^\circ<\alpha<-90^\circ$ 把 $53^\circ-\alpha$ 的范围卡出来，才敢在开方时取负号）。
5. 把 $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ 写成 $\cos(-\alpha) = -\cos\alpha$。 记住：余弦是”偶”的（关于 $x$ 轴对称时横坐标不变），正弦与正切是”奇”的。
6. 度分秒当成小数。 $38^\circ13'$ 是 $38 + \frac{13}{60}$ 度，不是 $38.13^\circ$。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节现在连着这么几道：

• 2018 年第 18 题（角的终边过 $P\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$，求 $\sin(\alpha+\pi)$， 再由 $\sin(\alpha+\theta)=\frac{5}{13}$ 求 $\cos\theta$）：第 (Ⅰ) 问是本节公式的原样考法—— $\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha$，读出 $\sin\alpha=-\frac{4}{5}$ 就一步落地； 第 (Ⅱ) 问再把 $\theta$ 写成 $(\alpha+\theta)-\alpha$，改用两角差的余弦。 本节负责第一问、第五节负责第二问，这道题把两者的分工摆得很清楚。
• 2021 年第 18 题（$f(x)=\sin x+\cos x$ 的两个复合式）：第 (1) 问要把 $\left[f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]^{2}$ 一路化到 $1-\sin 2x$， 中间那步 $\cos\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)=\sin 2x$ 正是诱导公式； 这一步不用它，就得多绕一圈展开。它是”化简路上顺手用一次”的典型。
• 2022 年第 13 题（互余角的三角等式求值）：它正是第三节最后那条线索的考法—— 题面给出的两个角加起来是特殊角，第一步就是用诱导公式把它们并成一个角。 诱导公式在高考里几乎从不单独成题，它是”把两个看似无关的角接上”的那一步。

本节课本习题共 13 道：第 201 页「练习」3 道、第 201–202 页「习题 5.3」10 道 （复习巩固 8 道、拓广探索 2 道）。

其中「习题 5.3」第 10 题不收——它问”借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系？ 由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系”，是开放式的探索题，没有唯一解答。 其余 12 道逐题全做。

下文反复用到的诱导公式（$k \in \mathbf{Z}$）：

$$\sin(\alpha+2k\pi) = \sin\alpha, \quad \sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha, \quad \sin(-\alpha) = -\sin\alpha, \quad \sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha,$$ $$\cos(\alpha+2k\pi) = \cos\alpha, \quad \cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha,$$ $$\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha, \quad \sin\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos\alpha, \quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin\alpha,$$

以及正切那一组 $\tan(\alpha+k\pi) = \tan\alpha$、$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$。 按课本的约定，以下恒等式都是在使两边都有意义的前提下成立的。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 201 页）第 1 题

1. 用诱导公式求下列三角函数值（可用计算工具，第(3)(4)(6)题精确到 0.0001）：

(1) $\cos\frac{65}{6}\pi;$ (2) $\sin\left(-\frac{31}{4}\pi\right);$ (3) $\cos(-1182^{\circ}13^{\prime});$

(4) $\sin 670^{\circ}39'$ ; (5) $\tan\left(-\frac{26\pi}{3}\right)$ ; (6) $\tan 580^{\circ}21'$ .

统一做法：先用公式一把角化到一圈以内，再看是不是特殊角——是就写精确值，不是就用计算工具。

(1) $\frac{65}{6}\pi - 10\pi = \frac{65\pi - 60\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$，故

$$\cos\frac{65}{6}\pi = \cos\frac{5\pi}{6} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}.$$

(2) $-\frac{31}{4}\pi + 8\pi = \frac{-31\pi + 32\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$，故

$\sin\left(-\frac{31}{4}\pi\right) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}.$

(3) 先用余弦是偶的：$\cos(-1182^\circ13') = \cos(1182^\circ13')$。 再减周期：$1182^\circ13' - 3 \times 360^\circ = 1182^\circ13' - 1080^\circ = 102^\circ13'$。故

$\cos(-1182^\circ13') = \cos 102^\circ13' \approx -0.2116.$

（$102^\circ13'$ 是第二象限角，余弦为负，与算得的负号相符。）

(4) $670^\circ39' - 360^\circ = 310^\circ39'$，故

$\sin 670^\circ39' = \sin 310^\circ39' \approx -0.7587.$

（$310^\circ39'$ 是第四象限角，正弦为负 ✓。）

(5) $-\frac{26\pi}{3} + 10\pi = \frac{-26\pi+30\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$，故

$$\tan\left(-\frac{26\pi}{3}\right) = \tan\frac{4\pi}{3} = \tan\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt3.$$

(6) $580^\circ21' - 360^\circ = 220^\circ21'$，故

$\tan 580^\circ21' = \tan 220^\circ21' = \tan(180^\circ + 40^\circ21') = \tan 40^\circ21' \approx 0.8496.$

（$220^\circ21'$ 是第三象限角，正切为正 ✓。）

度分要先换算：$102^\circ13' = 102 + \frac{13}{60} \approx 102.2167^\circ$， $40^\circ21' = 40 + \frac{21}{60} = 40.35^\circ$——别把 $13'$ 当成 $0.13^\circ$。

练习（第 201 页）第 2 题

2. 证明：

(1) $\cos\left(\frac{5}{2}\pi-\alpha\right)=\sin\alpha;$

(2) $\cos\left(\frac{7}{2}\pi+\alpha\right)=\sin\alpha;$

(3) $\sin\left(\frac{9}{2}\pi-\alpha\right)=\cos\alpha;$

(4) $\sin\left(\frac{11}{2}\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha.$

四小问都按”先减周期，再用公式五或公式六”两步走。

(1) $\frac52\pi - \alpha = 2\pi + \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$，故

$\cos\left(\frac52\pi - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha.$

(2) $\frac72\pi + \alpha = 4\pi + \left(-\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$，故

$$\cos\left(\frac72\pi+\alpha\right) = \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha,$$

倒数第二步用了余弦是偶函数（$\cos(-\theta) = \cos\theta$，取 $\theta = \frac{\pi}{2}-\alpha$）。

(3) $\frac92\pi - \alpha = 4\pi + \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$，故

$\sin\left(\frac92\pi - \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha.$

(4) $\frac{11}{2}\pi - \alpha = 4\pi + \left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)$， 再把 $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ 拆成 $\pi + \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$：

$$\sin\left(\frac{11}{2}\pi-\alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\left[\pi + \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right] = -\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = -\cos\alpha.$$

用口诀核一遍（把 $\alpha$ 当锐角）：(1) $\frac52\pi-\alpha$ 与 $\frac{\pi}{2}-\alpha$ 终边相同， 在第一象限，$\cos>0$，且 $k=5$ 为奇数要变名，故等于 $+\sin\alpha$ ✓； (4) $\frac{11}{2}\pi - \alpha$ 与 $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ 终边相同，在第三象限，$\sin<0$， $k=11$ 为奇数要变名，故等于 $-\cos\alpha$ ✓。

练习（第 201 页）第 3 题

3. 化简：

(1) $\frac{\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{5\pi}{2}+\alpha\right)}\sin(\alpha-2\pi)\cos(2\pi-\alpha);$

$\cos^ {2} (- \alpha) - \frac {\tan (2 \pi + \alpha)}{\cos \left(\frac {\pi}{2} + \alpha\right)};$

(3) $\frac{\cos\left(\alpha-3\pi\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}{\sin^{2}\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)}$ .

（第二个引用块就是课本的第 (2) 小问——转写把它排版成了单独一行、编号丢了。 对着本节页面上方第 201 页的扫描图核过：$\cos^2(-\alpha)$ 与后面那一项之间是一个 减号，那条分数线只跨 $\tan(2\pi+\alpha)$ 与 $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$ 两行， 不是一条把 $\cos^2(-\alpha)$ 也括进去的长分数线。所以下面 (2) 的结果不像 (1)(3) 那样简洁， 这是题目本来的样子，不是化简没做完。）

做法一律是逐个因式化成 $\alpha$ 的三角函数，再约。

(1) 逐个化：

$$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha \quad (\text{余弦是偶函数});$$ $$\sin\left(\frac{5\pi}{2}+\alpha\right) = \sin\left[2\pi + \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right] = \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos\alpha;$$ $$\sin(\alpha - 2\pi) = \sin\alpha; \qquad \cos(2\pi-\alpha) = \cos(-\alpha) = \cos\alpha.$$

代回原式：

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = \sin^2\alpha$$

（约掉 $\cos\alpha$ 用到 $\cos\alpha \neq 0$，这正是原式有意义所要求的）。

(2) 逐个化：

$$\cos^2(-\alpha) = (\cos\alpha)^2 = \cos^2\alpha; \qquad \tan(2\pi+\alpha) = \tan\alpha; \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin\alpha.$$

于是那个分式

$$\frac{\tan(2\pi+\alpha)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)} = \frac{\tan\alpha}{-\sin\alpha} = -\frac{1}{\sin\alpha}\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{1}{\cos\alpha}$$

（约掉 $\sin\alpha$ 用到 $\sin\alpha \neq 0$，这是原式分母不为零所要求的）。代回原式：

$\cos^2\alpha - \left(-\frac{1}{\cos\alpha}\right) = \cos^2\alpha + \frac{1}{\cos\alpha}.$

（也可以通分写成 $\dfrac{\cos^3\alpha+1}{\cos\alpha}$，两种写法都对。 核一个数：取 $\alpha = 1\ \mathrm{rad}$，原式 $= \cos^2 1 - \frac{\tan 1}{\cos\left(\frac{\pi}{2}+1\right)} = 0.291927 - \frac{1.557408}{-0.841471} = 0.291927 + 1.850816 = 2.142743$； 而 $\cos^2 1 + \frac{1}{\cos 1} = 0.291927 + 1.850816 = 2.142743$ ✓。）

(3) 逐个化：

$\cos(\alpha - 3\pi) = \cos(\alpha - 3\pi + 4\pi) = \cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha;$

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\left[\pi + \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right] = -\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = -\sin\alpha;$$ $$\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = -\cos\alpha \quad\Longrightarrow\quad \sin^2\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right) = \cos^2\alpha.$$

代回原式：

$$\frac{(-\cos\alpha)(-\sin\alpha)}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha.$$

习题 5.3 第 1 题

1. 用诱导公式求下列三角函数值（可用计算工具，第(2)(3)(4)(5)题精确到0.0001）：

(1) $\cos\left(-\frac{17\pi}{4}\right)$ ; (2) $\sin(-1574^{\circ})$ ; (3) $\sin(-2160^{\circ}52')$ ;

(4) $\cos(-1751^{\circ}36')$ ; (5) $\cos1615^{\circ}8'$ ; (6) $\sin\left(-\frac{26}{3}\pi\right)$ .

(1) 余弦是偶的，$\cos\left(-\frac{17\pi}{4}\right) = \cos\frac{17\pi}{4}$； 又 $\frac{17\pi}{4} - 4\pi = \frac{\pi}{4}$，故

$\cos\left(-\frac{17\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}.$

(2) $-1574^\circ + 5\times360^\circ = -1574^\circ + 1800^\circ = 226^\circ$，故

$\sin(-1574^\circ) = \sin 226^\circ \approx -0.7193.$

（$226^\circ$ 是第三象限角，正弦为负 ✓。）

(3) $-2160^\circ52' + 6\times360^\circ = -2160^\circ52' + 2160^\circ = -52'$，故

$\sin(-2160^\circ52') = \sin(-52') = -\sin 52' \approx -0.0151.$

（$52' = \frac{52}{60}^\circ \approx 0.8667^\circ$，是一个很小的角，正弦也很小。）

(4) 余弦是偶的，$\cos(-1751^\circ36') = \cos(1751^\circ36')$； $1751^\circ36' - 4\times360^\circ = 1751^\circ36' - 1440^\circ = 311^\circ36'$，故

$\cos(-1751^\circ36') = \cos 311^\circ36' \approx 0.6639.$

（$311^\circ36'$ 是第四象限角，余弦为正 ✓。）

(5) $1615^\circ8' - 4\times360^\circ = 1615^\circ8' - 1440^\circ = 175^\circ8'$，故

$\cos 1615^\circ8' = \cos 175^\circ8' \approx -0.9964.$

（$175^\circ8'$ 接近 $180^\circ$，余弦接近 $-1$ ✓。）

(6) $-\frac{26}{3}\pi + 10\pi = \frac{-26\pi+30\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$，故

$$\sin\left(-\frac{26}{3}\pi\right) = \sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt3}{2}.$$

习题 5.3 第 2 题

2. 求证：

(1) $\sin(360^{\circ}-\alpha)=-\sin\alpha;$ (2) $\cos(360^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha;$

(3) $\tan(360^{\circ}-\alpha)=-\tan\alpha.$

三小问的证法完全一样：先用公式一减掉 $360^\circ$，把角变成 $-\alpha$，再用公式三。

关键的第一步是：$360^\circ - \alpha$ 与 $-\alpha$ 相差 $360^\circ$，即它们终边相同， 所以同一三角函数的值相等（公式一）。

(1)

$\sin(360^\circ - \alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin\alpha.$

(2)

$\cos(360^\circ - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos\alpha.$

(3)

$\tan(360^\circ - \alpha) = \tan(-\alpha) = -\tan\alpha$

（第 (3) 问要求 $\tan$ 有意义，即 $\alpha \neq 90^\circ + k\cdot180^\circ$）。

用口诀核：$360^\circ - \alpha$ 写成 $\frac{k\pi}{2}\pm\alpha$ 的形式是 $k=4$（偶数）， 所以函数名不变；把 $\alpha$ 当锐角时 $360^\circ-\alpha$ 在第四象限， 那里 $\sin<0$、$\cos>0$、$\tan<0$——与上面三条的符号逐一相符 ✓。

习题 5.3 第 3 题

3. 化简：

(1) $1 + \sin(\alpha - 2\pi)\sin(\pi + \alpha) - 2\cos^{2}(-\alpha)$ ;

(2) $\sin(-1071^{\circ})\sin99^{\circ}+\sin(-171^{\circ})\sin(-261^{\circ})$ .

(1) 逐个化：$\sin(\alpha-2\pi) = \sin\alpha$；$\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$； $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$ 故 $\cos^2(-\alpha) = \cos^2\alpha$。代回：

$1 + \sin\alpha \cdot (-\sin\alpha) - 2\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha.$

再用平方关系 $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$：

$= \cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha = -\cos^2\alpha.$

(2) 四个角逐个化到 $9^\circ$ 上去。

$\sin(-1071^\circ) = \sin(-1071^\circ + 3\times360^\circ) = \sin 9^\circ;$

$\sin 99^\circ = \sin(90^\circ + 9^\circ) = \cos 9^\circ;$

$\sin(-171^\circ) = -\sin 171^\circ = -\sin(180^\circ - 9^\circ) = -\sin 9^\circ;$

$\sin(-261^\circ) = \sin(-261^\circ + 360^\circ) = \sin 99^\circ = \cos 9^\circ.$

代回原式：

$\sin 9^\circ\cos 9^\circ + (-\sin 9^\circ)(\cos 9^\circ) = \sin 9^\circ\cos9^\circ - \sin9^\circ\cos9^\circ = 0.$

这道题的关键动作：四个角看着毫不相干，减掉若干个 $360^\circ$ 之后全落到 $9^\circ$ 附近—— “减周期”永远是第一步，减完再看有没有互余、互补的关系。

习题 5.3 第 4 题

4. 在单位圆中，已知角 $\alpha$ 的终边与单位圆的交点为 $P\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$，分别求角 $\pi + \alpha, -\alpha, \frac{\pi}{2} + \alpha$ 的正弦、余弦函数值.

第一步：由交点坐标读出 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$。 按定义（$P$ 在单位圆上，横坐标是余弦、 纵坐标是正弦）：

$\cos\alpha = -\frac35, \qquad \sin\alpha = \frac45.$

（核一下 $P$ 确实在单位圆上：$\left(-\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2 = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} = 1$ ✓。）

第二步：逐个用诱导公式。

• $\pi + \alpha$（公式二）：

  $\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha = -\frac45, \qquad \cos(\pi+\alpha) = -\cos\alpha = \frac35.$

• $-\alpha$（公式三）：

  $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha = -\frac45, \qquad \cos(-\alpha) = \cos\alpha = -\frac35.$

• $\frac{\pi}{2}+\alpha$（公式六）：

  $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos\alpha = -\frac35, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin\alpha = -\frac45.$$

核一遍：三组值的平方和依次是 $\frac{16}{25}+\frac{9}{25}$、$\frac{16}{25}+\frac{9}{25}$、 $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}$，全是 $1$ ✓。

习题 5.3 第 5 题

5. 已知 $\sin\left(\frac{7\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{3}{5}$ ，那么 $\cos\alpha=(\quad)$ .

(A) $-\frac{4}{5}$ (B) $-\frac{3}{5}$ (C) $\frac{3}{5}$ (D) $\frac{4}{5}$

答案：(B)。

先把 $\sin\left(\frac{7\pi}{2}+\alpha\right)$ 化成 $\alpha$ 的三角函数。减掉 $4\pi$：

$\frac{7\pi}{2} + \alpha = 4\pi + \left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right),$

故

$$\sin\left(\frac{7\pi}{2}+\alpha\right) = \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = -\cos\alpha,$$

（中间一步用了正弦是奇函数：$\sin(-\theta) = -\sin\theta$，取 $\theta = \frac{\pi}{2}-\alpha$。）

于是由题设 $-\cos\alpha = \frac35$，即

$\cos\alpha = -\frac35,$

选 (B)。

用口诀核：$\frac{7\pi}{2}+\alpha$ 里 $k=7$ 为奇数，函数名 $\sin$ 要变成 $\cos$； 把 $\alpha$ 当锐角时 $\frac{7\pi}{2}+\alpha$ 与 $\frac{3\pi}{2}+\alpha$ 终边相同，落在第四象限， 那里 $\sin<0$，所以右边取负号——得 $-\cos\alpha$ ✓。

(A)(D) 是把 $\frac35$ 与 $\frac45$ 弄混的干扰项（本题根本不需要用平方关系去求另一个值）； (C) 是丢了负号。

习题 5.3 第 6 题

6. 已知 $\sin (\pi + \alpha) = -\frac{1}{2}$，计算：(1) $\sin (5\pi - \alpha)$；(2) $\sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$；(3) $\cos \left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)$；(4) $\tan \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

先把条件翻译成 $\sin\alpha$。 由公式二，$\sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$，故

$-\sin\alpha = -\frac12 \quad \Longrightarrow \quad \sin\alpha = \frac12.$

这里要留意一件事：题目只给了 $\sin\alpha = \frac12$，没有给象限， 所以 $\cos\alpha$ 有两个可能的值：由平方关系 $\cos^2\alpha = 1 - \frac14 = \frac34$，得

$\cos\alpha = \pm\frac{\sqrt3}{2}$

（$\sin\alpha = \frac12 > 0$ 只说明 $\alpha$ 是第一或第二象限角）。 凡是答案里出现 $\cos\alpha$ 的小问，都要分两种情形。

(1) $5\pi - \alpha = 4\pi + (\pi - \alpha)$，故

$\sin(5\pi-\alpha) = \sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha = \frac12.$

(2) 由公式六，

$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos\alpha = \pm\frac{\sqrt3}{2}$

（$\alpha$ 在第一象限时取 $\frac{\sqrt3}{2}$，在第二象限时取 $-\frac{\sqrt3}{2}$）。

(3) 余弦是偶的，再拆成 $\pi + \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$：

$$\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\left[\pi + \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right] = -\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = -\sin\alpha = -\frac12.$$

(4) 由公式五，$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha$、 $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha$，故

$$\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\pm\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12} = \pm\sqrt3$$

（同样，$\alpha$ 在第一象限时取 $\sqrt3$，第二象限时取 $-\sqrt3$）。

小结：(1)(3) 只用到 $\sin\alpha$，答案唯一；(2)(4) 用到了 $\cos\alpha$， 所以必须分两种情形。这道题考的正是”什么时候会出现两个答案”。

习题 5.3 第 7 题

7. 在 $\triangle ABC$ 中，试判断下列关系是否成立，并说明理由. (1) $\cos (A + B) = \cos C$ (2) $\sin (A + B) = \sin C$ (3) $\sin \frac{A + B}{2} = \sin \frac{C}{2}$; (4) $\cos \frac{A + B}{2} = \cos \frac{C}{2}$.

先把三角形的条件写出来。 三角形内角和为 $\pi$，故

$A + B + C = \pi \quad \Longrightarrow \quad A+B = \pi - C, \qquad \frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}.$

又 $0 < C < \pi$，故 $0 < \frac{C}{2} < \frac{\pi}{2}$（这一条在下面判 (3)(4) 时要用）。

(1) 不成立。 由公式四，

$\cos(A+B) = \cos(\pi - C) = -\cos C.$

要它等于 $\cos C$，就得 $-\cos C = \cos C$，即 $\cos C = 0$，即 $C = \frac{\pi}{2}$。 所以这个关系只在直角三角形（且直角是 $C$）时才成立，对一般三角形不成立。 举个反例：等边三角形里 $A=B=C=\frac{\pi}{3}$，左边 $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12$， 右边 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac12$，两者不等。

(2) 成立。 由公式四，

$\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C,$

对任意三角形都成立。

(3) 不成立。 由公式五，

$\sin\frac{A+B}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right) = \cos\frac{C}{2}.$

要它等于 $\sin\frac{C}{2}$，就得 $\cos\frac{C}{2} = \sin\frac{C}{2}$， 即 $\tan\frac{C}{2} = 1$（此处 $\cos\frac C2 \neq 0$，因为 $0<\frac C2<\frac{\pi}{2}$）， 即 $\frac{C}{2} = \frac{\pi}{4}$，$C = \frac{\pi}{2}$。同样只在直角时成立，一般不成立。 反例：等边三角形里 $C = \frac{\pi}{3}$，左边 $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}$， 右边 $\sin\frac{\pi}{6} = \frac12$，不等。

(4) 不成立。 由公式五，

$\cos\frac{A+B}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}\right) = \sin\frac{C}{2},$

要它等于 $\cos\frac{C}{2}$ 同样只能 $C = \frac{\pi}{2}$。反例同上：等边三角形里 左边 $\cos\frac{\pi}{3} = \frac12$，右边 $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt3}{2}$，不等。

结论：只有 (2) 成立。 顺带把四条的正确形式记下来（它们在解三角形时天天用）：

$$\cos(A+B) = -\cos C, \quad \sin(A+B) = \sin C, \quad \sin\frac{A+B}{2} = \cos\frac{C}{2}, \quad \cos\frac{A+B}{2} = \sin\frac{C}{2}.$$

规律很清楚：整个角互补时（$A+B$ 与 $C$），正弦不变、余弦变号； 半角互余时（$\frac{A+B}{2}$ 与 $\frac{C}{2}$），正弦与余弦互换。

习题 5.3 第 8 题

8. 已知 $\sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \frac{1}{3}$，且 $0 < x < \frac{\pi}{2}$，求 $\sin \left(\frac{\pi}{6} + x\right)$ 和 $\cos \left(\frac{2\pi}{3} + x\right)$ 的值.

关键动作：先找角与角之间的关系，别急着解出 $x$。 记 $\theta = \frac{\pi}{3} - x$，则

$$\left(\frac{\pi}{3}-x\right) + \left(\frac{\pi}{6}+x\right) = \frac{\pi}{2} \quad(\text{两个角互余}),$$ $$\left(\frac{\pi}{3}-x\right) + \left(\frac{2\pi}{3}+x\right) = \pi \quad(\text{两个角互补}).$$

于是两个所求都能用 $\theta$ 表示：$\frac{\pi}{6}+x = \frac{\pi}{2} - \theta$， $\frac{2\pi}{3}+x = \pi - \theta$。

第一个所求（公式五）：

$\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cos\theta.$

第二个所求（公式四）：

$\cos\left(\frac{2\pi}{3}+x\right) = \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta.$

所以只要求出 $\cos\theta$。 由平方关系，$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac19 = \frac89$， 故 $\cos\theta = \pm\frac{2\sqrt2}{3}$。

定号（这一步不能跳）。 由 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 得

$$-\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} - x < \frac{\pi}{3}, \qquad \text{即} \qquad -\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{3}.$$

又由题设 $\sin\theta = \frac13 > 0$，把 $\theta$ 进一步限制在 $0 < \theta < \frac{\pi}{3}$。 这一段完全落在第一象限内，故 $\cos\theta > 0$，取

$\cos\theta = \frac{2\sqrt2}{3}.$

答案：

$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right) = \frac{2\sqrt2}{3}, \qquad \cos\left(\frac{2\pi}{3}+x\right) = -\frac{2\sqrt2}{3}.$$

核一遍：两个答案互为相反数，正与”互余给 $\cos\theta$、互补给 $-\cos\theta$“相符 ✓； 数值上 $\frac{2\sqrt2}{3} \approx 0.943$，而 $\sin\theta = \frac13$ 对应 $\theta \approx 0.3398$（约 $19.5^\circ$），$\cos\theta \approx 0.943$ ✓。

习题 5.3 第 9 题

9. 化简下列各式，其中 $n \in Z$ :

(1) $\sin\left(\frac{n\pi}{2}+\alpha\right)$ ; (2) $\cos\left(\frac{n\pi}{2}-\alpha\right)$ .

因为 $\frac{n\pi}{2}$ 每增加 $4$ 个单位的 $n$ 就多转一整圈（$2\pi$）， 所以按 $n$ 被 $4$ 除的余数分四类就够了：任何整数 $n$ 都可以写成 $4k$、$4k+1$、$4k+2$、$4k+3$（$k \in \mathbf{Z}$）之一。

(1) 逐类化简：

• $n = 4k$：$\frac{n\pi}{2} = 2k\pi$，故 $\sin(2k\pi+\alpha) = \sin\alpha$；
• $n = 4k+1$：$\frac{n\pi}{2} = 2k\pi + \frac{\pi}{2}$，故 $\sin\left(2k\pi + \frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos\alpha$；
• $n = 4k+2$：$\frac{n\pi}{2} = 2k\pi + \pi$，故 $\sin(2k\pi+\pi+\alpha) = \sin(\pi+\alpha) = -\sin\alpha$；
• $n = 4k+3$：$\frac{n\pi}{2} = 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$，故 $\sin\left(2k\pi+\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = \sin\left[\pi + \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right] = -\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\cos\alpha$。

即

$$\sin\left(\frac{n\pi}{2}+\alpha\right) = \begin{cases} \sin\alpha, & n = 4k, \\ \cos\alpha, & n = 4k+1, \\ -\sin\alpha, & n = 4k+2, \\ -\cos\alpha, & n = 4k+3, \end{cases} \qquad k \in \mathbf{Z}.$$

(2) 同法逐类化简：

• $n = 4k$：$\cos(2k\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos\alpha$；
• $n = 4k+1$：$\cos\left(2k\pi + \frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\alpha$；
• $n = 4k+2$：$\cos(2k\pi+\pi-\alpha) = \cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$；
• $n = 4k+3$：$\cos\left(2k\pi + \frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\left[\pi + \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right] = -\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = -\sin\alpha$。

即

$$\cos\left(\frac{n\pi}{2}-\alpha\right) = \begin{cases} \cos\alpha, & n = 4k, \\ \sin\alpha, & n = 4k+1, \\ -\cos\alpha, & n = 4k+2, \\ -\sin\alpha, & n = 4k+3, \end{cases} \qquad k \in \mathbf{Z}.$$

这道题是”奇变偶不变”那句口诀的完整版：$n$ 为偶数（$4k$ 与 $4k+2$）时函数名不变， $n$ 为奇数（$4k+1$ 与 $4k+3$）时 $\sin$ 与 $\cos$ 互换；至于符号， 按把 $\alpha$ 当锐角时那个角落在第几象限来定，与上面逐类算出来的结果完全一致。