浙江 2013 · 数学 q04

冷启动：先把题干抄成一支箭头

题面问的是：

$$\text{「}f(x)\text{ 是奇函数」是「}\phi=\frac{\pi}{2}\text{」的（　）条件。}$$

先别急着算，先把这句话拆成两个字母。 前面那个是 $p$，后面那个是 $q$：

$$p:\ f(x)=A\cos(\omega x+\phi)\ \text{是奇函数},\qquad q:\ \phi=\frac{\pi}{2} .$$

题干问的是 $p$ 相对于 $q$ 的地位（谁在「是……的」前面，谁就是被问的那个）。 于是只有两个方向要判，而且必须分开判：

四个选项恰好是这两个方向的四种组合：

A 与 B 互为对方：方向读反一次，答案就正好从一个跳到另一个，而前面的推理一步没错。 所以动笔前把箭头画在草稿上，是这类题最值钱的十秒钟。

再把题面给的前提收好，两条都不是废话：$A>0$、$\omega>0$，且 $f$ 的定义域是 $\mathbf{R}$ （关于原点对称——判奇偶性的第一关，这里天然过关）。

解法一：把两个条件各解成 $\phi$ 的集合，再比谁装得下谁

「谁充分谁必要」抽象，「谁装得下谁」不抽象。把两个条件各自收成一个 $\phi$ 的集合， 逻辑判断就变成了看得见的包含关系。

第一步：$q$ 的集合——一个点

$$B=\left\{\phi\ \middle|\ \phi=\frac{\pi}{2}\right\}=\left\{\frac{\pi}{2}\right\} .$$

第二步：$p$ 的集合——先挤必要条件，再回验

$f$ 是奇函数的必要条件是 $f(0)=0$（定义域含 $0$，代 $x=0$ 进 $f(-x)=-f(x)$ 即得）。于是

$$f(0)=A\cos(\omega\cdot 0+\phi)=A\cos\phi=0 .$$

这里用上了 $A>0$：因为 $A\neq 0$，才能从 $A\cos\phi=0$ 得到

$$\cos\phi=0\ \Longrightarrow\ \phi=k\pi+\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbf{Z} .$$

（若允许 $A=0$，则 $f\equiv 0$，它对任何 $\phi$ 都是奇函数，下面那个集合会退化成全体实数。 本题的选项碰巧不受影响——$\left\{\frac{\pi}{2}\right\}$ 照样真包含在 $\mathbf{R}$ 里，答案还是 B—— 但解集就不是下面这一串了。题面那句 $A>0$ 的作用是把解集钉死成这一串，不是用来改答案的。）

到这里只走了一半：$f(0)=0$ 是必要条件，反过来未必够。回验一次——设 $\phi=k\pi+\frac{\pi}{2}$，

$$f(x)=A\cos\left(\omega x+k\pi+\frac{\pi}{2}\right) =(-1)^{k}A\cos\left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right) =-(-1)^{k}A\sin\omega x ,$$

是 $\sin\omega x$ 的一个非零常数倍，确实是奇函数。两个方向都通了，才敢写等价号：

$$A=\left\{\phi\ \middle|\ f\ \text{是奇函数}\right\} =\left\{\phi\ \middle|\ \phi=k\pi+\frac{\pi}{2},\ k\in\mathbf{Z}\right\} .$$

第三步：比包含

$\frac{\pi}{2}$ 就是 $k=0$ 那一个，所以 $B\subseteq A$；而 $-\frac{\pi}{2}$（$k=-1$）在 $A$ 里、不在 $B$ 里， 所以包含是真的：

$$B\subsetneq A .$$

小的推得出大的，大的推不出小的。照口诀「小范围推大范围」：$B$ 小，$q$ 充分；$A$ 大，$p$ 必要。 翻回题干问的那个方向——

$$q\Rightarrow p\ \text{成立},\qquad p\Rightarrow q\ \text{不成立} .$$

前一句说的是 $p$ 必要，后一句说的是 $p$ 不充分。合起来：

$$\boxed{p\ \text{是}\ q\ \text{的必要不充分条件，选 B}}$$

上块把两个集合摞在同一条 $\phi$ 轴上：上行一整串点，下行孤零零一个点。 绿箭头往上走得通（那一个点确实落在一整串里），红箭头往下走不通（$-\frac{\pi}{2}$ 上行有、下行没有）。 「必要不充分」这四个字，就是这两支箭头的翻译。

解法二：两个方向各办一次——一次代入，一个反例

上一条路要先把 $\cos\phi=0$ 的通解写全。这一条路根本不解那个方程： 题干只问两个方向成不成立，那就一个方向办一次。

方向一：$q\Rightarrow p$？——代进去算一次

设 $\phi=\frac{\pi}{2}$。由诱导公式 $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$，

$$f(x)=A\cos\left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)=-A\sin\omega x .$$

$\sin$ 是奇函数，乘一个常数还是奇函数，且定义域 $\mathbf{R}$ 关于原点对称。所以 $f$ 是奇函数。

$$q\Rightarrow p\ \text{成立}\ \Longrightarrow\ p\ \text{是}\ q\ \text{的必要条件} .$$

方向二：$p\Rightarrow q$？——一个反例就够

要推翻「若 $f$ 奇，则 $\phi=\frac{\pi}{2}$」，只需举出一个 $\phi$，让

• 前提成立：这个 $\phi$ 对应的 $f$ 真的是奇函数；
• 结论不成立：这个 $\phi$ 不等于 $\frac{\pi}{2}$。

取 $\phi=-\frac{\pi}{2}$。此时（诱导公式 $\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\alpha$）

$$f(x)=A\cos\left(\omega x-\frac{\pi}{2}\right)=A\sin\omega x .$$

两件事逐个验：

• 前提：$A\sin\omega x$ 满足 $f(-x)=A\sin(-\omega x)=-A\sin\omega x=-f(x)$，是奇函数 ✓
• 结论：$-\frac{\pi}{2}\neq\frac{\pi}{2}$ ✓

只验后一半是白举——光说「$-\frac{\pi}{2}$ 不是 $\frac{\pi}{2}$」，那随便哪个数都不是， 推翻不了任何东西；关键在前一半：这个 $\phi$ 确确实实落在「$f$ 是奇函数」里面。

$$p\Rightarrow q\ \text{不成立}\ \Longrightarrow\ p\ \text{不是}\ q\ \text{的充分条件} .$$

两个方向合起来，仍是

$$\boxed{\text{必要不充分条件，选 B}}$$

这条路值钱在哪

它没有解方程。碰上「$f$ 的某某性质」这种通解写不出来、或者写出来很费事的条件， 解集法就卡住了，而「代一次 + 举一个反例」照样办得下来——判两个方向本来就只需要 一次正面推理加一个反例，解集只是顺手的中间产物，不是必需品。

旁注：官方解答里掉了一个负号

原卷解答那一行写的是

$$f(x)=A\cos\left(\omega x+\frac{\pi}{2}\right)\ \Rightarrow\ f(x)=A\sin(\omega x) ,$$

按诱导公式应当是 $-A\sin(\omega x)$（$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$，负号别掉）。 差这一个负号不影响本题结论——$A\sin\omega x$ 与 $-A\sin\omega x$ 都是奇函数——但它正是 这条公式最常掉的地方，单独记一笔：$\frac{\pi}{2}$ 加上去要变名（余弦变正弦），还要带一个负号。

两条路怎么选

考场上两条都很快。稳的做法是先走解法二定方向、再用解法一的包含图自查一遍—— 因为这类题的错基本不出在算，而出在最后填名字那一步说反。

一句话带走

判充分必要，永远是两个方向各判一次，且「不成立」只需一个反例。

这道题的两个条件宽窄悬殊得刺眼：

$$\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\ \subsetneq\ \left\{k\pi+\frac{\pi}{2}\ \middle|\ k\in\mathbf{Z}\right\} .$$

窄的推得动宽的，宽的推不动窄的。所以「$f$ 是奇函数」这个更宽的条件， 是「$\phi=\frac{\pi}{2}$」的必要条件而非充分条件——选 B。

最后再念一遍那条抓手：箭头射出的一端充分，射入的一端必要。