浙江 2021 · 数学 q18

这道题在问什么

只有一个函数，两问都从它出发：

$$f(x)=\sin x+\cos x\qquad (x\in\mathbb R).$$

• (1) 求 $y=\left[f\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right]^2$ 的最小正周期。
• (2) 求 $y=f(x)\,f\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值。

两问看起来一个问周期、一个问最值，其实是同一个动作的两次应用：把 $f$ 的复合式用三角恒等变换化成一条标准正弦 $A\sin(\omega x+\varphi)+b$，然后周期由 $\omega$ 读、最值由值域读。认出这一点，两问就共用一套工具。

起手式：先把 $f$ 本身合一。 $\sin x+\cos x$ 是「$a\sin x+b\cos x$」的形状（$a=b=1$），辅助角公式一步合成

$$f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

（振幅 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$，相位满足 $\cos\varphi=\sin\varphi=\dfrac{\sqrt2}{2}$，故 $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$。）这个形式两问都用得上。

解法一：三角恒等变换，用正弦值域定最值

怎么想到的。 题目把 $f$ 平移、平方、相乘，造出两个看着复杂的式子。但三角函数的复合式只要降幂 + 合一，总能压回 $A\sin(\omega x+\varphi)+b$ 的标准形——而标准形的周期与值域都是直接读的。这条路全程不碰导数，是三角函数性质题的正统解法。

第 (1) 问：平方之后降幂

① 先算平移后的 $f$。 用诱导公式（$\sin$ 加 $\frac{\pi}{2}$ 变 $\cos$、$\cos$ 加 $\frac{\pi}{2}$ 变 $-\sin$）：

$$f\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x-\sin x.$$

② 平方，用二倍角降幂。 直接展开：

$$y=(\cos x-\sin x)^2=\cos^2x-2\sin x\cos x+\sin^2x.$$

前两项里 $\cos^2x+\sin^2x=1$（同角三角函数的基本关系），中间 $2\sin x\cos x=\sin 2x$（二倍角公式），于是

$$\boxed{\,y=1-\sin 2x.\,}$$

③ 读周期。 标准正弦 $\sin(\omega x+\varphi)$ 的最小正周期是 $\dfrac{2\pi}{|\omega|}$。这里 $\omega=2$，故

$$T=\frac{2\pi}{2}=\boxed{\pi}.$$

（常数项 $1$ 与振幅都不影响周期，只看 $x$ 的系数。）

第 (2) 问：相乘之后合一

① 先化 $f\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$。 这一项有个巧合：把 $x-\dfrac{\pi}{4}$ 代进合一形式，

$$f\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin x.$$

相位正好抵消，只剩 $\sqrt2\sin x$。

② 相乘并展开。

$$y=f(x)\,f\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\cdot\sqrt2\sin x =2\sin x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

把 $\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt2}{2}\cos x$ 展开：

$$y=2\sin x\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right) =\sqrt2\sin^2x+\sqrt2\sin x\cos x.$$

③ 降幂 + 合一。 用 $\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ 与 $\sin x\cos x=\dfrac{\sin 2x}{2}$：

$$y=\sqrt2\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}+\sqrt2\cdot\frac{\sin 2x}{2} =\frac{\sqrt2}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt2}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt2}{2}.$$

前两项再用辅助角公式合一（系数 $\dfrac{\sqrt2}{2}$、$-\dfrac{\sqrt2}{2}$，振幅 $\sqrt{\dfrac12+\dfrac12}=1$）：

$$\boxed{\,y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt2}{2}.\,}$$

④ 用值域定最大值。 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$，所以相位

$$2x-\frac{\pi}{4}\in\left[-\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}\right].$$

正弦在 $\dfrac{\pi}{2}$ 处取到最大值 $1$，而 $\dfrac{\pi}{2}\in\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right]$——取得到。令 $2x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$，得 $x=\dfrac{3\pi}{8}$（落在区间内），此时

$$y_{\max}=1+\frac{\sqrt2}{2}.$$

故最大值为 $\boxed{1+\dfrac{\sqrt2}{2}}$。

解法二：求导找驻点，端点驻点逐个比

怎么想到的。 第 (1) 问的周期还是得靠降幂（导数对周期帮不上忙），所以这条路只在第 (2) 问分岔：把式子化成 $\sin 2x-\cos 2x+\dfrac{\sqrt2}{2}$ 之后，不合一读值域，而是直接求导——闭区间上连续函数的最大值只可能在端点或内部驻点取到，逐个代进去比大小即可。它把「相位范围里 $\frac{\pi}{2}$ 取不取得到」这个判断，换成了机械的「解 $y'=0$ + 比函数值」。

① 第 (1) 问照旧。 同解法一，$y=1-\sin 2x$，最小正周期 $T=\pi$。

② 第 (2) 问化到同一中间形。 前几步与解法一完全相同，得到

$$y=\frac{\sqrt2}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt2}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt2}{2}.$$

从这里开始分岔。

③ 求导找驻点。 对 $x$ 求导（$\sin 2x$、$\cos 2x$ 各带一个内层系数 $2$）：

$$y'=\frac{\sqrt2}{2}\cdot 2\cos 2x-\frac{\sqrt2}{2}\cdot(-2\sin 2x) =\sqrt2(\cos 2x+\sin 2x).$$

令 $y'=0$，即 $\cos 2x+\sin 2x=0$，$\tan 2x=-1$。在 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$（即 $2x\in[0,\pi]$）内，

$$2x=\frac{3\pi}{4}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3\pi}{8}.$$

④ 凑齐候选、逐个比。 候选点 = 两端点 $\cup$ 内部驻点：$x=0,\ \dfrac{3\pi}{8},\ \dfrac{\pi}{2}$。逐个代入 $y=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+\dfrac{\sqrt2}{2}$（这里借解法一的合一形式算函数值最省事，也可以直接用未合一的式子）：

$$y(0)=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt2}{2}=0,$$ $$y\!\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\sin\frac{\pi}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=1+\frac{\sqrt2}{2},$$ $$y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\frac{3\pi}{4}+\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$

三者里 $1+\dfrac{\sqrt2}{2}\approx1.707>\sqrt2\approx1.414>0$，故最大值

$$\boxed{1+\frac{\sqrt2}{2}}\quad\left(\text{在 }x=\frac{3\pi}{8}\text{ 处取到}\right).$$

这两条路差在哪

• 解法一全程是三角恒等变换：降幂、合一，把两问都压成标准正弦，周期与最值直接读。它最能说明答案为什么长这样——最大值 $1+\dfrac{\sqrt2}{2}$ 里的 $1$ 是正弦的振幅、$\dfrac{\sqrt2}{2}$ 是常数项。
• 解法二在第 (2) 问改用导数：不判「相位范围里 $\frac{\pi}{2}$ 取不取得到」，而是解 $y'=0$ 找驻点、连同端点逐个比。它更机械、更不易漏（端点 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处的值 $\sqrt2$ 自动被纳入比较），代价是要多算三个函数值。

分歧只在第 (2) 问怎么定最大值这一步（读值域 vs 求导比大小），用的工具不同（辅助角公式的值域推论 vs 导数与驻点），所以是两条路。第 (1) 问两条路完全重合——周期问题没有「求导」这个选项。

考场上怎么选：系数干净、相位范围一眼能判时解法一更快（本题 $\frac{\pi}{2}$ 显然落在 $\left[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$ 里）；拿不准相位范围、或怕漏端点时解法二更稳。

🕳️ 避坑

• 第 (2) 问的相位范围要把端点乘 2。 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，相位 $2x-\dfrac{\pi}{4}$ 的范围是 $\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right]$，不是 $\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right]$。漏乘那个 $2$，右端点算成 $\dfrac{\pi}{4}$，就会以为 $\dfrac{\pi}{2}$ 取不到、最大值退到端点，整个答案错掉。
• 辅助角合并的相位符号。 $\dfrac{\sqrt2}{2}\sin 2x-\dfrac{\sqrt2}{2}\cos 2x$ 合出来是 $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)$，相位是减 $\dfrac{\pi}{4}$（因为 $\cos$ 项系数为负）。写成 $+\dfrac{\pi}{4}$ 的话，取最值的点会算成 $x=\dfrac{\pi}{8}$，代入验证就会发现对不上。
• $f\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ 的巧合别浪费。 它恰好等于 $\sqrt2\sin x$（相位抵消）。要是绕开合一形式、直接展开 $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ 也能得到同一结果，但多两步、更易错。
• 降幂别漏常数项。 $\sqrt2\sin^2x=\dfrac{\sqrt2}{2}(1-\cos 2x)=\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cos 2x$，那个 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ 常数就是最后答案里的常数项。漏了它，最大值会变成 $1$ 而不是 $1+\dfrac{\sqrt2}{2}$。
• 解法二求导时内层系数 2 不能丢。 $(\sin 2x)'=2\cos 2x$、$(\cos 2x)'=-2\sin 2x$。两个 $2$ 正好都提出来成公因子 $\sqrt2$，不影响 $y'=0$ 的解，但漏一个负号就会把 $\tan 2x=-1$ 解成 $\tan 2x=1$，驻点全错。