浙江 2022 · 数学 q13

冷启动：两个角、两个函数名，先压成一个

① 题目给了什么。

$$3\sin\alpha-\sin\beta=\sqrt{10},\qquad \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$$

要求 $\sin\alpha$ 与 $\cos2\beta$。

② 第一个动作是唯一的：把 $\beta$ 消掉。 两个未知角、一条等式，解不了。但第二个条件说它们互余，而互余角的正弦余弦可以互换（诱导公式的公式五）：

$$\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha\quad\Longrightarrow\quad \sin\beta=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$$

注意换了名：$\sin\beta$ 变成的是 $\cos\alpha$，不是 $\sin\alpha$。（拿不准就代一组 $30^\circ/60^\circ$ 验一下。）

代回第一个式子，两个角合成一个：

$$\boxed{3\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{10}}$$

③ 盯住右端那个 $\sqrt{10}$。 左边是「$a\sin\alpha+b\cos\alpha$」的形状，$a=3$、$b=-1$，而

$$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$$

恰好等于右端。 这不是巧合——$a\sin\alpha+b\cos\alpha$ 的取值范围是 $\left[-\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{a^2+b^2}\right]$，等式说它顶到了上界。顶到上界的位置只有一个，所以 $\alpha$ 会被唯一确定。看出这一点，题就做完一半了。

下面两条路，就是把「顶到上界」这件事写实的两种方式。

解法一：辅助角公式合一，读出「取到最大值」

怎么想到的。 $3\sin\alpha-\cos\alpha$ 是两个三角函数的线性组合，辅助角公式能把它合成一个正弦：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$。合完之后方程只剩一个正弦等于它的振幅，一眼可解。

① 提出振幅。

$$3\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{10}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\sin\alpha-\frac{1}{\sqrt{10}}\cos\alpha\right) =\sqrt{10}\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\sin\alpha-\frac{\sqrt{10}}{10}\cos\alpha\right)$$

括号里两个系数的平方和是 $\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}}\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^2=\dfrac{9+1}{10}=1$——所以它们真的能当成某个角的余弦与正弦。

② 引入辅助角 $\theta$。 令

$$\cos\theta=\frac{3\sqrt{10}}{10},\qquad \sin\theta=\frac{\sqrt{10}}{10}$$

（两者都为正，取 $\theta$ 在第一象限。）于是括号 $=\sin\alpha\cos\theta-\cos\alpha\sin\theta=\sin(\alpha-\theta)$，方程变成

$$\sqrt{10}\,\sin(\alpha-\theta)=\sqrt{10}\quad\Longrightarrow\quad \sin(\alpha-\theta)=1$$

③ 解出 $\alpha$。 正弦等于 $1$ 只在一处（模 $2\pi$）：

$$\alpha-\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\Longrightarrow\quad \alpha=\theta+\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \ (k\in\mathbf{Z})$$

④ 求 $\sin\alpha$。 用诱导公式（公式六）：

$$\sin\alpha=\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)=\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\theta=\boxed{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$$

绕了一圈回到 $\cos\theta$——这正是辅助角公式的巧妙之处：$\alpha$ 本身是个说不清的角，但 $\sin\alpha$ 恰好等于我们自己设定的 $\cos\theta$。

⑤ 第二空：$\cos2\beta$ 直接由第一空推。 别重起炉灶——$\alpha$ 与 $\beta$ 互余，所以

$$\cos\beta=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$$

再用二倍角公式的「余弦版」$\cos2\beta=2\cos^2\beta-1$：

$$\cos2\beta=2\cos^2\beta-1=2\sin^2\alpha-1=2\times\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)^2-1 =2\times\frac{9}{10}-1=\frac{18}{10}-1=\boxed{\frac45}$$

（$\left(\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\right)^2=\dfrac{9\times10}{100}=\dfrac{9}{10}$。）

解法二：设正弦余弦为未知数，联立平方关系解方程组

怎么想到的。 辅助角公式要现凑 $\theta$，还得判它在哪个象限。如果不想引入新角，就把 $\sin\alpha$ 和 $\cos\alpha$ 当成两个普通的未知数——它们满足两条方程：题目给的那条，以及天生的 $\sin^2+\cos^2=1$。两个方程两个未知数，直接解。

这条路一个新角都不引入，全程只是解一元二次方程。

① 设未知数、列方程组。 记 $s=\sin\alpha$、$c=\cos\alpha$：

$$\begin{cases} 3s-c=\sqrt{10} &\text{（题目，已用诱导公式并角）}\\[2pt] s^2+c^2=1 &\text{（同角三角函数的基本关系，恒成立）} \end{cases}$$

② 消元。 由第一式 $c=3s-\sqrt{10}$，代入第二式：

$$s^2+\left(3s-\sqrt{10}\right)^2=1$$

展开：

$$s^2+9s^2-6\sqrt{10}\,s+10=1 \quad\Longrightarrow\quad 10s^2-6\sqrt{10}\,s+9=0$$

③ 这是一个完全平方。 注意 $10s^2=\left(\sqrt{10}s\right)^2$、$9=3^2$、而 $2\times\sqrt{10}s\times3=6\sqrt{10}s$ 正是中间项：

$$\left(\sqrt{10}\,s-3\right)^2=0$$

判别式为零、解唯一——「$a\sin\alpha+b\cos\alpha$ 顶到了它的上界 $\sqrt{a^2+b^2}$」这件事，在代数上的样子就是这个完全平方。解得

$$\sqrt{10}\,s=3\quad\Longrightarrow\quad s=\frac{3}{\sqrt{10}}=\boxed{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$$

④ 顺手把 $c$ 也算出来（第二空要用，也能自查）。

$$c=3s-\sqrt{10}=\frac{9}{\sqrt{10}}-\sqrt{10}=\frac{9-10}{\sqrt{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$$

验一遍 $s^2+c^2=\dfrac{9}{10}+\dfrac{1}{10}=1$ ✓。（顺带看出 $\cos\alpha<0$ 而 $\sin\alpha>0$——$\alpha$ 的终边落在第二象限。说「$\alpha$ 是钝角」不够准确：题目没限定 $\alpha$ 的范围，它只定到模 $2\pi$。这一条在解法一里是看不出来的，后面第 ⑤ 步也用不到，只是顺手的一个认识。）

⑤ 第二空。 由互余（诱导公式）得 $\cos\beta=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha=s$，再用二倍角的余弦版 $\cos2\beta=2\cos^2\beta-1$：

$$\cos2\beta=2\cos^2\beta-1=2s^2-1=2\times\frac{9}{10}-1=\boxed{\frac45}$$

这两条路差在哪

• 解法一引入了一个新角 $\theta$，把两项合成一项，方程变成 $\sin(\alpha-\theta)=1$。它最能说明「为什么答案这么干净」——右端恰是振幅，所以正弦被顶到 $1$。代价是要凑 $\theta$ 并判象限。
• 解法二一个新角都不引入，把 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$ 当成两个普通未知数，配上 $s^2+c^2=1$ 解方程组。它把「唯一性」变成了判别式为零这件看得见的事，还顺手算出 $\cos\alpha<0$。

第一个实质动作就分岔了（引辅助角合一 vs 设未知数联立），中间对象也不同（$\theta$ vs 一元二次方程）。所以是两条路。

考场上怎么选：系数简单、能一眼看出振幅时解法一更快（本题 $\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ 一眼可见）；但解法二更不容易错——它没有「$\theta$ 在哪个象限」这个判断点，而且完全平方一出现，唯一性就是白纸黑字的。两条路的第二空完全一样，都从 $\cos\beta=\sin\alpha$ 走。

🕳️ 避坑

• 互余要换名。 $\sin\beta=\cos\alpha$，不是 $\sin\alpha$。这一步错了后面全错，而且错得很隐蔽（式子照样能解）。
• 右端恰是振幅是设计好的。 $\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$ 与题面右端一模一样，说明左边被顶到了最大值。没看出这一点也能硬解（解法二），但看出来能省一半时间，也能预判「解是唯一的」。
• 辅助角的 $\theta$ 由 $\cos\theta$、$\sin\theta$ 一起定。 只写 $\tan\theta=\dfrac13$ 定不了象限；本题两者都取正，$\theta$ 在第一象限。
• 第二空别重解一次角。 $\cos\beta=\sin\alpha$ 是现成的，代进 $\cos2\beta=2\cos^2\beta-1$ 一步就完。绕回去求 $\beta$ 本身既慢又容易丢解。
• 二倍角挑对形式。 $\cos2\beta$ 有三种写法（$\cos^2-\sin^2$、$2\cos^2-1$、$1-2\sin^2$）。这里手上有的是 $\cos\beta$，所以挑 $2\cos^2\beta-1$ 最省事；挑 $1-2\sin^2\beta$ 就得再算一次 $\sin\beta$。
• 本题特有的一处：$\left(\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\right)^2=\dfrac{9}{10}$ 而不是 $\dfrac{9}{100}$——分子的 $\sqrt{10}$ 平方之后是 $10$，与分母的 $100$ 约掉一个 $10$。这一步算错，第二空就会变成 $2\times\dfrac{9}{100}-1=-\dfrac{41}{50}$。