浙江 2018 · 数学 q18

冷启动：终边点直接给出 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$

角 $\alpha$ 的顶点在原点、始边沿 $x$ 轴非负半轴，终边过 $P\bigl(-\dfrac{3}{5},-\dfrac{4}{5}\bigr)$。这就是任意角三角函数的定义：

$$r=|OP|=\sqrt{\Bigl(-\dfrac{3}{5}\Bigr)^{2}+\Bigl(-\dfrac{4}{5}\Bigr)^{2}}=1,$$

所以

$$\sin\alpha=\dfrac{y}{r}=-\dfrac{4}{5},\qquad\cos\alpha=\dfrac{x}{r}=-\dfrac{3}{5}.$$

$P$ 在第三象限，两个值都是负的，对得上。题面（Ⅱ）先写 $\theta$、后又写 $\beta$，是同一问，下面统一用 $\theta$。

解法一：定义求 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$，再用差角余弦

怎么想到的。 （Ⅰ）是诱导公式：$\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha$，把上面的 $\sin\alpha$ 翻号就完了。（Ⅱ）已知 $\sin(\alpha+\theta)$，要求 $\cos\theta$，差角公式正好把 $\theta=(\alpha+\theta)-\alpha$ 拆开。

（Ⅰ）

$$\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha=-\Bigl(-\dfrac{4}{5}\Bigr)=\dfrac{4}{5}.$$

（Ⅱ） $\sin(\alpha+\theta)=\dfrac{5}{13}$，平方关系给出

$$\cos(\alpha+\theta)=\pm\sqrt{1-\Bigl(\dfrac{5}{13}\Bigr)^{2}}=\pm\dfrac{12}{13}.$$

差角余弦：

$$\cos\theta=\cos\bigl((\alpha+\theta)-\alpha\bigr)=\cos(\alpha+\theta)\cos\alpha+\sin(\alpha+\theta)\sin\alpha.$$

• $\cos(\alpha+\theta)=\dfrac{12}{13}$：$\dfrac{12}{13}\cdot\bigl(-\dfrac{3}{5}\bigr)+\dfrac{5}{13}\cdot\bigl(-\dfrac{4}{5}\bigr)=-\dfrac{36}{65}-\dfrac{20}{65}=-\dfrac{56}{65}$。
• $\cos(\alpha+\theta)=-\dfrac{12}{13}$：$\bigl(-\dfrac{12}{13}\bigr)\cdot\bigl(-\dfrac{3}{5}\bigr)+\dfrac{5}{13}\cdot\bigl(-\dfrac{4}{5}\bigr)=\dfrac{36}{65}-\dfrac{20}{65}=\dfrac{16}{65}$。

所以 $\cos\theta=-\dfrac{56}{65}$ 或 $\dfrac{16}{65}$。两个都留：题面没再给 $\alpha+\theta$ 所在象限。

解法二：展开 $\sin(\alpha+\theta)$，联立平方关系

怎么想到的。 不想先引入 $\cos(\alpha+\theta)$ 的正负号时，直接把 $\sin(\alpha+\theta)$ 按和角正弦拆开，得到 $\sin\theta$ 与 $\cos\theta$ 的一个一次方程，再和 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ 联立。

（Ⅰ）与解法一相同：$\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha=\dfrac{4}{5}$。

（Ⅱ）和角正弦：

$$\sin(\alpha+\theta)=\sin\alpha\cos\theta+\cos\alpha\sin\theta=\Bigl(-\dfrac{4}{5}\Bigr)\cos\theta+\Bigl(-\dfrac{3}{5}\Bigr)\sin\theta=\dfrac{5}{13}.$$

两边乘 $-5$：

$$4\cos\theta+3\sin\theta=-\dfrac{25}{13}.$$

解出 $3\sin\theta=-\dfrac{25}{13}-4\cos\theta$，两边平方，再用 $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$：

$$9(1-\cos^{2}\theta)=\Bigl(\dfrac{25}{13}+4\cos\theta\Bigr)^{2}.$$

令 $t=\cos\theta$，整理得

$$9-9t^{2}=\dfrac{625}{169}+\dfrac{200}{13}t+16t^{2}=\dfrac{625}{169}+\dfrac{2600}{169}t+16t^{2},$$ $$9-9t^{2}-\dfrac{625}{169}-\dfrac{2600}{169}t-16t^{2}=0.$$

通分（乘 $169$）：

$$9\cdot 169-625-2600t-9\cdot 169\,t^{2}-16\cdot 169\,t^{2}=0.$$

$9\cdot 169=1521$，$1521-625=896$；$9\cdot 169+16\cdot 169=25\cdot 169=4225$。所以

$$896-2600t-4225t^{2}=0\implies 4225t^{2}+2600t-896=0.$$

求根：

$$t=\dfrac{-2600\pm\sqrt{2600^{2}+4\cdot 4225\cdot 896}}{2\cdot 4225}.$$

$2600^{2}=6\,760\,000$，$4\cdot 4225\cdot 896=4\cdot 4225\cdot 896$。$4225=65^{2}$，$896=64\cdot 14=2^{6}\cdot 14$，

$4\cdot 65^{2}\cdot 896=4\cdot 4225\cdot 896=15\,142\,400$，

判别式 $6\,760\,000+15\,142\,400=21\,902\,400=4680^{2}$（因为 $4680^{2}=(4700-20)^{2}=22\,090\,000-188\,000+400=21\,902\,400$）。

$$t=\dfrac{-2600\pm 4680}{8450}.$$ $$t=\dfrac{2080}{8450}=\dfrac{16}{65},\qquad t=\dfrac{-7280}{8450}=-\dfrac{56}{65}.$$

与解法一相同。两个根都要验回 $4\cos\theta+3\sin\theta=-\dfrac{25}{13}$（平方会增根）：两个都能配出合法的 $\sin\theta$（各自一个符号），都留下。