浙江 2013 · 数学 q22

冷启动：先把这道题在问什么说清楚

函数是 $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3ax-3a+3$，其中 $a\in\mathbb R$ 是一个参数（不确定的常数，但解完之前当它是个已知的数）。两问：

• (1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；
• (2) 当 $x\in[0,2]$ 时，求 $|f(x)|$ 的最大值。

第 (2) 问那个绝对值是全题的分水岭：它问的不是「$f$ 的最大值」，而是「$|f|$ 的最大值」——$f$ 会取负值时，$|f|$ 的最大值可能落在 $f$ 的最低谷上（把低谷翻到 x 轴上方）。这个区别后文会反复用到。

先算两个两问都要用的「原材料」：

① $f(1)$。 代入 $x=1$：

$$f(1)=1-3+3a-3a+3=1$$

所以切点是 $(1,1)$。注意它与 $a$ 无关——无论 $a$ 取什么，切点都钉在 $(1,1)$，变的只有斜率。

② 导函数 $f'(x)$。 逐项用常见函数的导数的幂公式 $(x^{n})'=nx^{n-1}$：

$$f'(x)=3x^{2}-6x+3a$$

再配方一次（这是配方读顶点的动作，也是第 (2) 问的灵魂）：

$$f'(x)=3(x-1)^{2}+3(a-1)$$

因为 $(x-1)^{2}\ge 0$，所以 $f'(x)$ 的符号——也就是 $f$ 的增减——完全由 $3(a-1)$ 这一项决定。下面这张图先看一眼：

「a 取哪个值」决定了 $f$ 长什么样，也就决定了 $|f|$ 的最大值落在哪。 所以第 (2) 问绕不开分类讨论。下面两条路，区别只在用什么办法把这件事算出来。

第 (1) 问：切线方程（两条路共用）

导数的几何意义：$f'(1)$ 就是曲线在 $x=1$ 处切线的斜率。

$$f'(1)=3-6+3a=3a-3$$

切线过点 $(1,1)$、斜率 $3a-3$，用点斜式 $y-f(1)=f'(1)\,(x-1)$：

$$y-1=(3a-3)(x-1)$$

展开：

$$y=(3a-3)x-(3a-3)+1=(3a-3)x-3a+4$$

所以切线方程是

$$y=(3a-3)x-3a+4$$

（检验一句：把 $x=1$ 代进右端得 $3a-3-3a+4=1$，正好是 $f(1)$，切线确实过切点。）

解法一：直接求导，按 a 分类讨论

怎么想到的。 要求 $|f(x)|$ 的最大值，先得知道 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上哪里升、哪里降，这看 $f'(x)$ 的符号；而 $f'(x)=3(x-1)^{2}+3(a-1)$ 的符号由 $a$ 定。于是按 $a$ 与 $1$ 的大小切成三档，每档里 $f$ 的单调性一目了然。

① 配方，读出 $f'$ 的符号

$f'(x)=3(x-1)^{2}+3(a-1)$，而 $(x-1)^{2}\ge0$ 且（在 $[0,2]$ 上）$(x-1)^{2}\le1$。按 $a$ 分档：

• $a\ge1$：$3(a-1)\ge0$，故 $f'(x)\ge0$ 恒成立，$f$ 在 $[0,2]$ 上单调递增。
• $a\le0$：$3(x-1)^{2}\le3$ 且 $3(a-1)\le-3$，故 $f'(x)\le0$ 恒成立，$f$ 在 $[0,2]$ 上单调递减。
• $0<a<1$：$f'(x)=0$ 有两个根 $x=1\pm\sqrt{1-a}$，都在 $(0,2)$ 内，$f$ 先增、后减、再增。

这里正是含参导数漏掉参数非正的一支那个坑：只盯着「$f'=0$ 有根」的 $0<a<1$ 那一档，把 $a\le0$（整体递减）与 $a\ge1$（整体递增）两支漏掉，讨论就不穷尽。三分必须互斥且穷尽。

② $a\le0$：单调递减，最大 |f| 在端点

$f$ 递减，$|f|$ 的最大值只可能落在端点。先算两个端点值：

$$f(0)=3-3a,\qquad f(2)=8-12+6a-3a+3=3a-1$$

$a\le0$ 时 $f(0)=3-3a\ge3>0$、$f(2)=3a-1\le-1<0$，所以

$$|f(x)|_{\max}=\max\{|f(0)|,|f(2)|\}=\max\{3-3a,\ 1-3a\}=3-3a$$

③ $a\ge1$：单调递增，最大 |f| 在端点

同样比两端点：$a\ge1$ 时 $f(0)=3-3a\le0$、$f(2)=3a-1\ge2>0$，于是

$$|f(x)|_{\max}=\max\{|f(0)|,|f(2)|\}=\max\{3a-3,\ 3a-1\}=3a-1$$

④ $0<a<1$：两个极值点，比端点与极值

记 $x_{1}=1-\sqrt{1-a}$、$x_{2}=1+\sqrt{1-a}$，则 $f$ 在 $x_{1}$ 取极大值、在 $x_{2}$ 取极小值。把两个值算出来（用「以 $x=1$ 为中心」的改写 $f(x)=(x-1)^{3}+3(a-1)(x-1)+1$ 最省事——它正是下一节的入口，这里先当计算工具）：

$$f(x_{1})=1+2(1-a)\sqrt{1-a}>1,\qquad f(x_{2})=1-2(1-a)\sqrt{1-a}<1$$

两者相加：

$$f(x_{1})+f(x_{2})=2>0$$

这说明 $f(x_{1})>|f(x_{2})|$——极小值的绝对值比不过极大值，于是 $x_{2}$ 处永不夺冠。$|f|$ 的最大值只需在 $f(x_{1})$、$f(0)$、$|f(2)|$ 三者里挑（这正是闭区间求最值：端点 + 内部驻点逐个比）。

先比掉 $f(0)$。 令 $u=\sqrt{1-a}\in(0,1)$，则 $a=1-u^{2}$：

$$f(x_{1})-f(0)=\big[1+2(1-a)\sqrt{1-a}\big]-(3-3a)=2u^{3}-3u^{2}+1=(u-1)^{2}(2u+1)>0$$

所以 $f(x_{1})>f(0)$ 恒成立，$f(0)$ 也出局。现在只剩 $f(x_{1})$ 与 $|f(2)|$ 的单挑。

比 $f(x_{1})$ 与 $|f(2)|$。 $f(2)=3a-1$，其绝对值 $|f(2)|=|3a-1|$。分两段：

• $a<\dfrac13$ 时 $|f(2)|=1-3a<1<f(x_{1})$，$f(x_{1})$ 赢；
• $a\ge\dfrac13$ 时 $|f(2)|=3a-1$，作差（作差定号）：

$$f(x_{1})-|f(2)|=\big[1+2(1-a)\sqrt{1-a}\big]-(3a-1)=2u^{3}+3u^{2}-1=(2u-1)(u+1)^{2}$$

$(u+1)^{2}>0$，符号由 $2u-1$ 定：$u>\dfrac12\iff a<\dfrac34$ 时为正（$f(x_{1})$ 赢），$u<\dfrac12\iff a>\dfrac34$ 时为负（$|f(2)|$ 赢），$a=\dfrac34$ 时相等。

⑤ 合并三档

把 ②③④ 的结果拼起来，交界处正好接上（$a=0$ 与 $a=\dfrac34$ 处两段取值相等）：

$$|f(x)|_{\max}=\begin{cases} 3-3a, & a\le0\\ 1+2(1-a)\sqrt{1-a}, & 0<a<\dfrac34\\ 3a-1, & a\ge\dfrac34 \end{cases}$$

解法二：配立方看奇对称，把最值化成 1 + max h

怎么想到的。 三次式 $x^{3}-3x^{2}$ 让人想到完全立方 $(x-1)^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1$——只差一点。而区间 $[0,2]$ 恰好关于 $x=1$ 对称。这两件事合起来，暗示「以 $x=1$ 为中心重写 $f$」会有惊喜。

① 配立方：以 $x=1$ 为中心展开

令 $t=x-1$（则 $x\in[0,2]\iff t\in[-1,1]$），把 $f$ 按 $t$ 展开：

$$f(x)=(t+1)^{3}-3(t+1)^{2}+3a(t+1)-3a+3=t^{3}+3(a-1)t+1$$

记

$$h(t)=t^{3}+3(a-1)t$$

则 $f(x)=1+h(t)$，$t\in[-1,1]$。先停一下，看 $h$ 长什么样：它是奇函数——只有奇次项（$t^{3}$ 与 $t$），没有常数项与偶次项。

② 奇函数把「加绝对值」这件事消掉

奇函数满足 $h(-t)=-h(t)$，而定义域 $[-1,1]$ 关于 $0$ 对称，所以 $h$ 的值域关于 $0$ 对称：若 $M=\max_{t\in[-1,1]}h(t)$（则 $M\ge0$），最小值就是 $-M$。于是 $1+h(t)$ 落在区间 $[1-M,\ 1+M]$ 上，而

$$|1+h(t)|\le 1+M,\qquad\text{且 }1+M\ge|1-M|\text{ 恒成立}$$

（$M\ge0$ 时 $1+M\ge|1-M|$ 随手一验便知。）所以当 $h(t)=M$ 时 $|f|$ 取到最大，且

$$|f(x)|_{\max}=1+M=1+\max_{t\in[-1,1]}h(t)$$

这一步是整条路的枢纽：奇对称把「$|1+h|$ 的最大值」化成了「$1+h$ 的最大值」——绝对值号当场消失，再也不用纠结 $f$ 在哪里变负、$|f(2)|$ 到底是 $f(2)$ 还是 $-f(2)$。

③ 求 $M=\max h$

$h'(t)=3t^{2}+3(a-1)=3(t^{2}+a-1)$，在 $[-1,1]$ 上：

• $a\ge1$：$h'(t)\ge0$，$h$ 递增，$M=h(1)=1+3(a-1)=3a-2$；
• $a\le0$：$t^{2}\le1$ 故 $h'(t)\le3(a)\le0$，$h$ 递减，$M=h(-1)=-1-3(a-1)=2-3a$；
• $0<a<1$：$h'(t)=0$ 在 $t=\pm\sqrt{1-a}$，$h$ 在 $[-1,-\sqrt{1-a}]$ 增、$[-\sqrt{1-a},\sqrt{1-a}]$ 减、$[\sqrt{1-a},1]$ 增，故 $M=\max\{h(-\sqrt{1-a}),\ h(1)\}$。

（同样注意：$a\le0$、$a\ge1$ 两支都不能漏——那是含参导数漏掉参数非正的一支的同款坑，只是这次落在 $h'$ 上。）

④ $0<a<1$ 时比两个候选

$$h(-\sqrt{1-a})=2(1-a)\sqrt{1-a},\qquad h(1)=3a-2$$

令 $u=\sqrt{1-a}\in(0,1)$，作差：

$$h(-\sqrt{1-a})-h(1)=2u^{3}-(3a-2)=2u^{3}+3u^{2}-1=(2u-1)(u+1)^{2}$$

符号由 $2u-1$ 定：$u>\dfrac12\iff a<\dfrac34$ 时 $h(-\sqrt{1-a})$ 大，$a>\dfrac34$ 时 $h(1)$ 大，$a=\dfrac34$ 时相等。

⑤ 回代 $1+M$，得答案

• $a\le0$：$|f|_{\max}=1+(2-3a)=3-3a$；
• $0<a<\dfrac34$：$|f|_{\max}=1+2(1-a)\sqrt{1-a}$；
• $a\ge\dfrac34$：$|f|_{\max}=1+(3a-2)=3a-1$。

与解法一完全一致。

换元后新变量的范围别丢：$t=x-1$ 由 $x\in[0,2]$ 推出 $t\in[-1,1]$，这个关于 $0$ 对称的区间才是「$h$ 值域关于 $0$ 对称」的前提——这也是换元后漏掉新变量的取值范围的典型场景。

回头看：两条路的骨头各是什么

1. 解法一是「顺藤摸瓜」：从 $f'(x)=3(x-1)^{2}+3(a-1)$ 读出单调性，按 $a$ 分三档，每档比端点与极值。缺点在 $0<a<1$ 那一档——要同时对付 $|f(2)|$ 的绝对值号，还要作两次差。
2. 解法二是「结构换元」：先看出 $f(x)=1+h(x-1)$ 且 $h$ 是奇函数，奇对称一举把 $|1+h|$ 化成 $1+\max h$，绝对值号消失，后面只要比 $h$ 的两个候选。少缠一次 $|f(2)|$，代价是要先认得出那个完全立方。

🕳️ 避坑

• 问的是 $|f|$，不是 $f$。 $a\le0$ 那档 $f$ 递减、最大的是 $|f(0)|=3-3a$（$f(0)$ 本身是正的，无妨）；但 $0<a<1$ 那档若忘了绝对值，会把 $|f(2)|$ 错写成 $f(2)$，在 $a<\dfrac23$ 时符号正好相反。
• 分类要穷尽。 $a$ 与 $0$、$1$、$\dfrac34$ 的比价要互斥且穷尽；漏掉 $a\le0$（或 $a\ge1$）整支，答案就缺一段。这是含参导数漏掉参数非正的一支的标准翻法。
• $(u-1)^{2}$、$(u+1)^{2}$ 这类平方因子恒非负。 作差后先读这类因子，符号就只看剩下的 $2u-1$ 或 $2u+1$，别整段硬判。
• 解法二的 $t$ 范围别丢。 $t=x-1$ 的 $[-1,1]$ 是「奇对称」成立的地基；写漏了，$h$ 值域关于 $0$ 对称那句话就没了依据。