浙江 2017 · 数学 q20

冷启动：这道题真正的难点不在求导

题面给的是

$$f(x)=\left(x-\sqrt{2x-1}\right)e^{-x},\qquad x\geqslant\frac12$$

第（1）问要导函数，第（2）问要它在 $\left[\dfrac12,+\infty\right)$ 上的取值范围。

先把定义域看清楚：根号要求 $2x-1\geqslant 0$，即 $x\geqslant\dfrac12$——题面给的区间恰好就是自然定义域， 左端点 $x=\dfrac12$ 处根号里正好为零。这个端点后面会成为整道题的主角。

第（1）问是例行公事：一个积、里面套一个根号，乘法法则加链式法则就完事。 真正会丢分的是第（2）问，因为它问的是取值范围而不是最大值：

$f'=0$ 只解出 $x=1$ 和 $x=\dfrac52$。若只把这两处的函数值比一比， 得到的「最大值」是 $\dfrac12e^{-5/2}\approx0.041$。 而左端点处 $f\left(\dfrac12\right)=\dfrac12e^{-1/2}\approx0.303$——是它的七倍还多。

端点不是驻点，它永远不会出现在 $f'=0$ 的解里，但它照样是候选。这就是本题的坑。

解法一：硬求导，把 f′ 分解成两个因子，符号只看这两个

第一步（1）：乘法法则 + 链式法则

把 $f$ 看成两块的乘积：

$$u(x)=x-\sqrt{2x-1},\qquad v(x)=e^{-x}$$

分别求导。$v'(x)=-e^{-x}$（指数的内层是 $-x$，斜率 $-1$ 要乘上）。$u$ 里那个根号是套了一层的：

$$\left(\sqrt{2x-1}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{2x-1}}\cdot(2x-1)'=\frac{1}{2\sqrt{2x-1}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$$

里层那个 $2$ 必须乘上，否则整条式子会差一半。于是 $u'(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}$，

$$f'(x)=u'v+uv'=\left(1-\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\right)e^{-x}-\left(x-\sqrt{2x-1}\right)e^{-x}$$

第二步（1）：整理成两个因子的乘积

把 $e^{-x}$ 提出来，括号里合并两个带根号的项：

$$\sqrt{2x-1}-\frac{1}{\sqrt{2x-1}}=\frac{(2x-1)-1}{\sqrt{2x-1}}=\frac{2x-2}{\sqrt{2x-1}}$$

于是

$$f'(x)=\left(1-x+\frac{2x-2}{\sqrt{2x-1}}\right)e^{-x}$$

注意 $2x-2=-2(1-x)$，把 $(1-x)$ 提出来：

$$\boxed{\,f'(x)=(1-x)\left(1-\frac{2}{\sqrt{2x-1}}\right)e^{-x}\,}$$

这一步是全题的关键。 不提这个公因式，后面判符号就要面对一个含根号的复杂表达式； 提出来之后，三个因子里 $e^{-x}$ 恒正，符号只由前两个决定，而它们各自都只有一个零点。

回验：取 $x=1$，原式 $f'(1)$ 里第一个因子为零，故 $f'(1)=0$；直接从第一步的式子算， $\left(1-\dfrac11\right)e^{-1}-\left(1-1\right)e^{-1}=0$。对上了。

第三步（2）：两个零点，三段符号

$$1-x=0\ \Longrightarrow\ x=1;\qquad 1-\frac{2}{\sqrt{2x-1}}=0\ \Longrightarrow\ \sqrt{2x-1}=2\ \Longrightarrow\ x=\frac52$$

这两个数把 $\left[\dfrac12,+\infty\right)$ 切成三段。逐段看两个因子的符号（$e^{-x}$ 一律不管）：

减、增、减——这就是图①那三条色带的来历。

第四步（2）：把每一段的两个端点值都算出来

候选点一共四个：两个驻点 $1$、$\dfrac52$，加上左端点 $\dfrac12$，再加右边的极限。

$$f\left(\frac12\right)=\left(\frac12-\sqrt{0}\right)e^{-1/2}=\frac12e^{-1/2}$$ $$f(1)=\left(1-\sqrt{1}\right)e^{-1}=0,\qquad f\left(\frac52\right)=\left(\frac52-\sqrt{4}\right)e^{-5/2}=\frac12e^{-5/2}$$

右端：$x\to+\infty$ 时 $x-\sqrt{2x-1}\to+\infty$，但 $e^{-x}$ 衰减得快得多，故 $f(x)\to 0^{+}$。

顺带把「$f$ 不会取负值」钉死：$x\geqslant\sqrt{2x-1}$ 两边都非负，平方等价于 $x^2\geqslant 2x-1$， 即 $(x-1)^2\geqslant 0$——恒成立。所以 $f\geqslant 0$，且只在 $x=1$ 处取等。

第五步（2）：三段的值域并起来

连续函数在一段单调区间上的值域，就是两个端点值围成的区间（中间的值靠介值性全都取得到）：

后两段都被第一段包住（因为 $e^{-5/2}<e^{-1/2}$）。并起来：

$$\boxed{\,f\ \text{的取值范围是}\ \left[0,\ \frac12e^{-1/2}\right]\,}$$

两个端点都取得到：上端在 $x=\dfrac12$ 处取到，下端在 $x=1$ 处取到。 第三段虽然「够不到 $0$」，但 $0$ 早已被第一段取走了，所以并集仍是闭的—— 开闭要合并之后再判，不能逐段下结论。

解法二：令根号为新元，函数变成一个完全平方乘指数

这条路的用意是：根号才是原式难看的根源，把它换掉，结构会自己显出来。

第一步：换元，并把新变量的范围一起搬过去

题面的函数是 $f(x)=\left(x-\sqrt{2x-1}\right)e^{-x}$，$x\geqslant\dfrac12$。令

$$t=\sqrt{2x-1}\ \geqslant 0\ \Longrightarrow\ t^2=2x-1\ \Longrightarrow\ x=\frac{t^2+1}{2}$$

$x$ 从 $\dfrac12$ 增到 $+\infty$ 时，$2x-1$ 从 $0$ 增到 $+\infty$，开方后 $t$ 从 $0$ 增到 $+\infty$。 这是一一对应且同向的（两边都严格递增），所以

$$x\in\left[\frac12,+\infty\right)\quad\Longleftrightarrow\quad t\in[0,+\infty)$$

$x$ 的值域问题就等价于 $t$ 的值域问题——新变量的范围必须一并搬过来，否则后面算出的值域会偏大。

第二步：括号里恰好是一个完全平方

$$x-\sqrt{2x-1}=\frac{t^2+1}{2}-t=\frac{t^2-2t+1}{2}=\frac{(t-1)^2}{2}$$

于是（同时把 $e^{-x}$ 也换成 $t$）

$$\boxed{\,f=g(t)=\frac{(t-1)^2}{2}\,e^{-\frac{t^2+1}{2}},\qquad t\geqslant 0\,}$$

两件事当场读出来：$g(t)\geqslant 0$（前面是平方、后面是指数，都非负）， 且 $g(t)=0$ 当且仅当 $t=1$，即 $x=\dfrac{1+1}{2}=1$。 解法一里那句「$(x-1)^2\geqslant 0$ 所以 $f\geqslant0$」，在这里是白送的。

第三步：对 $t$ 求导，因式全部现成

记 $E=e^{-\frac{t^2+1}{2}}>0$，注意 $E'=-tE$。乘法法则：

$$g'(t)=(t-1)E+\frac{(t-1)^2}{2}\cdot(-tE)=(t-1)E\left[1-\frac{t(t-1)}{2}\right] =-\frac{E}{2}\,(t-1)\left(t^2-t-2\right)$$

而 $t^2-t-2=(t-2)(t+1)$，所以

$$g'(t)=-\frac{E}{2}\,(t-1)(t-2)(t+1)$$

$t\geqslant 0$ 时 $t+1>0$、$E>0$，符号只由 $(t-1)(t-2)$ 决定，且要取反：

驻点 $t=1$ 与 $t=2$ 折回去正是 $x=\dfrac{1^2+1}{2}=1$ 与 $x=\dfrac{2^2+1}{2}=\dfrac52$—— 和解法一的两个驻点一字不差。

第四步：顺手把第（1）问也答了

链式法则反着用一次：$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}=\dfrac1t$，于是

$$f'(x)=g'(t)\cdot\frac1t=-\frac{E}{2t}(t-1)(t+1)(t-2)$$

注意 $E=e^{-\frac{t^2+1}{2}}=e^{-x}$，而 $(t-1)(t+1)=t^2-1=(2x-1)-1=-2(1-x)$，代进去：

$$f'(x)=-\frac{e^{-x}}{2t}\cdot\bigl(-2(1-x)\bigr)(t-2)=(1-x)\cdot\frac{t-2}{t}\cdot e^{-x} =(1-x)\left(1-\frac{2}{\sqrt{2x-1}}\right)e^{-x}$$

与解法一逐字相同。 两条完全不同的路径给出同一个导数，这本身就是一次强校验。

第五步：四个候选值，并成值域

$$g(0)=\frac{(0-1)^2}{2}e^{-\frac12}=\frac12e^{-1/2},\qquad g(1)=0,\qquad g(2)=\frac{(2-1)^2}{2}e^{-\frac{5}{2}}=\frac12e^{-5/2}$$

$t\to+\infty$ 时 $\dfrac{(t-1)^2}{2}$ 只是二次增长，而 $e^{-\frac{t^2+1}{2}}$ 是平方级的衰减， 乘积趋于 $0$（够不到）。

「减、增、减」三段的端点值排出来，最高的是 $t=0$ 那一头的 $\dfrac12e^{-1/2}$，最低的是 $0$，于是

$$f\ \text{的取值范围是}\ \left[0,\ \frac12e^{-1/2}\right]$$

回头看：两条路各自强在哪儿

三条可以带走的经验：

1. 求导之后先想办法因式分解。 分解不出来就得硬判一个复杂表达式的符号； 分解出来之后，恒正的因子（$e^{-x}$、$x^2$、分母）可以整块扔掉。
2. 候选点是「驻点 + 不可导点 + 端点」，三类缺一不可。 这道题的最大值就藏在端点上。
3. 值域不是最值。 先按单调段拆开，每段写出两个端点值，最后并起来再判开闭—— 某一段够不到的那个值，可能已经被另一段取走了。