浙江 2018 · 数学 q17

题解图（官方解法，据图核） · 规范化转写 · 本题暂无攻略，下方回落显示官方解析

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2018 · 数学 q17 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 已知点 P(0,1)P(0, 1), 椭圆 x24+y2=m(m>1)\frac{x^2}{4} + y^2 = m (m > 1) 上两点 A,BA, B 满足 AP→=2PB→\overrightarrow{AP} = 2 \overrightarrow{PB}, 则当 m=m = ____时, 点 BB 横坐标的绝对值最大.

答案

5

解析

分析

设 A (x1,y1)(x_{1}, y_{1}) ，B (x2,y2)(x_{2}, y_{2}) ，运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得 y1,y2y_{1}, y_{2} ，有 x22=m−(3−m2)2x_{2}^{2}=m - \left(\frac{3-m}{2}\right)^{2} ，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和 m 的值.

解答

解：设 A (x1,y1)(x_{1}, y_{1}) ，B (x2,y2)(x_{2}, y_{2}) ，

由 P（0，1）， AP→=2PB→\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}

可得 −x1=2x2,1−y1=2(y2−1)-x_{1}=2x_{2},\quad1-y_{1}=2\quad(y_{2}-1) ,

即有 x1=−2x2x_{1}=-2x_{2} ， y1+2y2=3y_{1}+2y_{2}=3 ，

又 x12+4y12=4mx_{1}^{2}+4y_{1}^{2}=4m ,

即为 x22+y12=mx_{2}^{2}+y_{1}^{2}=m ，①

x22+4y22=4m,x_{2}^{2}+4y_{2}^{2}=4m, ②

① - ② 得 (y1−2y2)(y1+2y2)=−3m,(y_{1} - 2y_{2})(y_{1} + 2y_{2}) = -3m,

可得 y1−2y2=−my_{1}-2y_{2}=-m ,

解得 y1=3−m2y_{1}=\frac{3-m}{2} ， y2=3+m4y_{2}=\frac{3+m}{4} ，

则 m=x22+(3−m2)2m=x_{2}^{2}+(\frac{3-m}{2})^{2} ,

即有 x22=m−(3−m2)2=−m2+10m−94=−(m−5)2+164x_{2}^{2}=m-\left(\frac{3-m}{2}\right)^{2}=\frac{-m^{2}+10m-9}{4}=\frac{-(m-5)^{2}+16}{4} ,

即有 m=5 时， x22x_{2}^{2} 有最大值 4，

即点 B 横坐标的绝对值最大.

故答案为：5.