浙江 2011 · 数学 q16

冷启动：一个约束、一族平行线

题面给的是一个约束

$$4x^{2}+y^{2}+xy=1$$

和一个待求的一次式 $2x+y$。把要求的东西记成一个字母：

$$t=2x+y .$$

固定 $t$，满足 $2x+y=t$ 的点排成一条斜率为 $-2$ 的直线；$t$ 变大，这条直线就整体往右上平移。 于是原题被翻译成一句几何话：

$t$ 取得到 $\Leftrightarrow$ 直线 $2x+y=t$ 与约束曲线有公共点。

约束曲线是什么？把它看成关于 $x,y$ 的二次曲线，判别式 $1^{2}-4\cdot 4\cdot 1=-15<0$， 所以它是一个倾斜的椭圆——有界、封闭。既然有界闭，$t$ 的最大值一定存在； 而直线越推越高，最后擦着椭圆过去的那一刻就是最大值。

下面三条路，本质上都是在算「这条直线什么时候还碰得到椭圆」。

解法一：换元成关于 $x$ 的二次方程——判别式 $\geq 0$ 一口气办完

由 $t=2x+y$ 得 $y=t-2x$，代回约束：

$$4x^{2}+(t-2x)^{2}+x(t-2x)=1 .$$

逐项展开，$(t-2x)^{2}=t^{2}-4tx+4x^{2}$，$x(t-2x)=tx-2x^{2}$，于是

$$4x^{2}+t^{2}-4tx+4x^{2}+tx-2x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad 6x^{2}-3tx+t^{2}-1=0 . \tag{$\ast$}$$

关键的一步是把「取得到」讲清楚：

$t$ 是 $2x+y$ 的一个取值 $\Leftrightarrow$ 存在实数 $x$ 使 $(\ast)$ 成立（此时配上 $y=t-2x$ 就是一组解） $\Leftrightarrow$ $(\ast)$ 这个关于 $x$ 的二次方程有实根。

$(\ast)$ 的二次项系数 $6\neq 0$，是货真价实的二次方程，有实根当且仅当

$$\Delta=(-3t)^{2}-4\cdot 6\cdot(t^{2}-1)=9t^{2}-24(t^{2}-1)=-15t^{2}+24\geq 0 ,$$

即

$$t^{2}\leq\frac{24}{15}=\frac{8}{5} \quad\Longrightarrow\quad |t|\leq\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5} .$$

别停在这里。 上面这串只说明了「$t$ 必须落在 $\left[-\frac{2\sqrt{10}}{5},\frac{2\sqrt{10}}{5}\right]$ 里」， 还得回头验右端点真取得到。取 $t=\frac{2\sqrt{10}}{5}$ 时 $\Delta=0$，$(\ast)$ 有重根

$$x=\frac{3t}{2\cdot 6}=\frac{t}{4}=\frac{\sqrt{10}}{10}, \qquad y=t-2x=\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{10}}{5} .$$

代回核对：$4\cdot\frac{1}{10}+\frac{2}{5}+\frac{\sqrt{10}}{10}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5} =\frac{2}{5}+\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=1$ ✓。所以最大值是

$$\boxed{\dfrac{2\sqrt{10}}{5}}$$

这个 $(x,y)$ 正是教学图上那个深绿切点——$\Delta=0$（重根）在代数上说的，和「直线与椭圆相切」在几何上说的，是同一件事。

解法二：基本不等式——$(2x-y)^{2}\geq 0$ 把 $xy$ 卡在 $\frac15$ 以内

这条路不引入方程，直接把 $t^{2}$ 和约束拼起来。注意到

$$t^{2}=(2x+y)^{2}=4x^{2}+4xy+y^{2}=\bigl(4x^{2}+y^{2}+xy\bigr)+3xy=1+3xy .$$

于是问题变成「$xy$ 最大能到多少」。而

$$4x^{2}+y^{2}-4xy=(2x-y)^{2}\geq 0 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+y^{2}\geq 4xy ,$$

这一步对一切实数 $x,y$ 都成立，不需要讨论正负。把它塞进约束：

$$1=4x^{2}+y^{2}+xy\geq 4xy+xy=5xy \quad\Longrightarrow\quad xy\leq\frac{1}{5} .$$

代回上面那条恒等式：

$$t^{2}=1+3xy\leq 1+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} \quad\Longrightarrow\quad t\leq\frac{2\sqrt{10}}{5} .$$

取等条件要落到底。 上式取等需要 $(2x-y)^{2}=0$，即 $y=2x$。代回约束：

$$4x^{2}+4x^{2}+2x^{2}=10x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{\sqrt{10}}{10} .$$

取正号得 $x=\frac{\sqrt{10}}{10}$、$y=\frac{\sqrt{10}}{5}$，此时 $t=2x+y=4x=\frac{2\sqrt{10}}{5}$，等号真取到； 取负号给的是最小值 $-\frac{2\sqrt{10}}{5}$。所以最大值是 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$。

顺带一提：$y=2x$ 就是中心到切点的那条直径——它与切线的方向（$2x+y=$ 常数）互为共轭。 注意它并不是椭圆的主轴：主轴方向由二次型矩阵的特征向量给出，斜率约为 $0.16$ 与 $-6.16$，都不是 $2$。 解法一里算出的重根 $x=\frac{t}{4}$、$y=\frac{t}{2}$ 也满足 $y=2x$，两条路在同一个点上会合。

解法三：配方 + 三角换元——辅助角一次读出振幅

约束的左边是一个二次型，可以配成两个平方之和。把 $y$ 看成主元：

$$4x^{2}+y^{2}+xy=\left(y+\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(4-\frac{1}{4}\right)x^{2} =\left(y+\frac{x}{2}\right)^{2}+\frac{15}{4}x^{2}=1 .$$

两个平方项之和为 $1$，正好可以整段换成一个角：令

$$y+\frac{x}{2}=\cos\varphi ,\qquad \frac{\sqrt{15}}{2}\,x=\sin\varphi , \qquad \varphi\in[0,2\pi) .$$

这个换元是一一对应的：每组满足约束的 $(x,y)$ 恰给出一个 $\varphi$，反过来每个 $\varphi$ 也给出一组合法的 $(x,y)$， 所以 $\varphi$ 可以自由地跑遍一整圈，不会漏掉也不会多出取值。解出

$$x=\frac{2}{\sqrt{15}}\sin\varphi ,\qquad y=\cos\varphi-\frac{x}{2}=\cos\varphi-\frac{1}{\sqrt{15}}\sin\varphi .$$

代进目标式：

$$2x+y=\frac{4}{\sqrt{15}}\sin\varphi+\cos\varphi-\frac{1}{\sqrt{15}}\sin\varphi =\frac{3}{\sqrt{15}}\sin\varphi+\cos\varphi =\frac{\sqrt{15}}{5}\sin\varphi+\cos\varphi .$$

辅助角合一，振幅就是两个系数的平方和开根：

$$\sqrt{\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{\frac{15}{25}+1}=\sqrt{\frac{40}{25}}=\frac{2\sqrt{10}}{5} ,$$

即 $2x+y=\frac{2\sqrt{10}}{5}\sin(\varphi+\varphi_{0})$，其中 $\varphi_{0}$ 由 $\tan\varphi_{0}=\frac{5}{\sqrt{15}}$ 定。 $\varphi$ 跑遍一整圈，$\sin(\varphi+\varphi_{0})$ 就取遍 $[-1,1]$，最大值 $1$ 一定取得到，于是

$$(2x+y)_{\max}=\frac{2\sqrt{10}}{5} .$$

三条路怎么选

• 解法一是填空题的标准打法：换元 $\to$ 二次方程 $\to$ 判别式，三步到底，不需要任何技巧性的凑配。 代价是必须把「有实根」这个等价关系说清楚，光写 $\Delta\geq 0$ 而不回头验取等，就只证了一半。
• 解法二最短，但它依赖一次「看出来」的配对：把 $4x^{2}+y^{2}$ 和 $4xy$ 认成 $(2x-y)^{2}$。 好处是过程全是恒等变形与不等式，没有开根号取号的麻烦；坏处是换个系数就得重新试。
• 解法三最不动脑：只要约束能配成两个平方之和，就一定能换成角，辅助角的振幅直接就是答案。 代价是算式最长，而且必须交代 $\varphi$ 跑遍整圈（否则振幅取不到）。 约束里带一次项（比如 $4x^{2}+y^{2}+xy+x=1$）时，前两条路会变难，这条路只需先平移再配方，反而最稳。

易错

• 只写出范围就交卷。$\Delta\geq 0$ 解出的是 $t$ 的必要条件； 要说最大值是 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$，还得指出 $\Delta=0$ 时方程真有（重）根、$(x,y)$ 真存在 （详见易错点「不等式求最值漏验等号」）。
• 基本不等式那一步方向搞反。$4x^{2}+y^{2}\geq 4xy$ 是把 $xy$ 往上卡； 若误写成 $4x^{2}+y^{2}\geq -4xy$（同样成立，来自 $(2x+y)^{2}\geq 0$），得到的是 $xy\geq -\frac13$， 那是求最小值用的一半，接不上最大值。
• 三角换元后不管 $\varphi$ 的范围。若换元只覆盖半圈（比如误设 $\varphi\in[0,\pi]$）， $\sin(\varphi+\varphi_{0})$ 就未必取得到 $1$，振幅算对了答案也可能落空 （详见易错点「换元后漏掉新变量的取值范围」）。
• 把 $6x^{2}-3tx+t^{2}-1=0$ 的判别式当成对 $t$ 的判别式。 $(\ast)$ 是关于 $x$ 的二次方程，$t$ 在里面是常数； 一旦把主元认错，$\Delta$ 就会写成 $9x^{2}-\cdots$，整条路直接歪掉。
• 忘了约束曲线是椭圆而不是双曲线。若约束写成 $4x^{2}-y^{2}+xy=1$， 曲线无界，$2x+y$ 根本没有最大值——此时 $\Delta\geq 0$ 会解出 $t^{2}\geq$ 某数， 形状完全不同。判别式 $1-4\cdot 4\cdot 1<0$ 这一句不是装饰，它保证了最大值存在。