浙江 2011 · 数学 q16

题面

16、（2011•浙江）设x，y为实数，若$4 x^{2} + y^{2} + x y = 1$，则2x+y的最大值是

答案

$\frac{2 {\sqrt{1 0}}}{5}$

解析

分析

设$t = 2 x + y$，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值

解答

解：$\because 4 x^{2} + y^{2} + x y = 1$

$\therefore (2 x + y)^{2} - 3 x y = 1$

令$t = 2 x + y$则$y = t - 2 x$

$\therefore t^{2} - 3 (t - 2 x) x = 1$

即$6 {\times}^{2} - 3 {\tan} + {\tan}^{2} - 1 {=} 0$

$\therefore \Delta = 9 t^{2} - 2 4 (t^{2} - 1) = - 1 5 t^{2} + 2 4 \geq 0$

解得$- \ \frac{2 \sqrt{1 0}}{5} \leq t \leq \frac{2 \sqrt{1 0}}{5}$

$\therefore 2 x + y$的最大值是$\frac{2 {\sqrt{1 0}}}{5}$

故答案为$\frac{2 {\sqrt{1 0}}}{5}$