反求使某量为定值的直线

题型说明

常规的定值题长这样：给一条直线（或一族直线），证某个量与动点无关。本题型把箭头掉过来：

曲线 $C$ 上有动点 $M$，$\ell$ 是过定点 $Q$ 的直线；由 $M$ 与 $\ell$ 共同决定若干条线段。 求 $\ell$，使某个由这些线段拼出来的量对 $C$ 上的每一个 $M$ 都取同一个值。

两个参数同时在场：动点参数（记 $x$，$M$ 在曲线上跑）与直线参数（记 $k$，$\ell$ 在那一族里挑）。 两者的地位完全不同——$x$ 要被「消掉」，$k$ 要被「解出」。把这件事想清楚，剩下的就是代数。

三步

1. 把 $\ell$ 参数化，先把标不到的那几条单独交代。 过定点设点斜式会漏掉竖直的那一条； 有时题设本身就把它排除了（比如某个交点在竖直时根本不存在），那也要写一句为什么， 不能默认。水平那一档（$k=0$）常常也要单独验，因为后面要除以 $k$。

2. 把目标量算成 $x$ 的式子，并把 $k$ 提到外面。 目标是写成

   $$F(x,k)=\underbrace{g(k)}_{\text{只含 }k}\cdot\underbrace{h(x,k)}_{\text{含 }x\text{ 的那一块}} ,$$

   其中 $h$ 尽量简单——最常见的形态是两个一次式之比 $\left|\dfrac{x-a}{x-b}\right|$， 或一个一次式与一个二次式之比。这一步的功夫全在因式分解：$|QB|$、$|QA|$ 这类长度里 几乎总能提出同一个公因式（本质原因是 $M$、$B$ 等点都随 $M$ 的位置线性地离开定点）， 提干净之后剩下的东西往往只有一次。

3. 令含 $x$ 的那一块变成常数，解出 $k$；再代回去报出那个常数。 这一步是等价变形， 不是「取特值凑」：$\dfrac{x-a}{x-b}=1+\dfrac{b-a}{x-b}$ 恒为常数当且仅当 $a=b$。

两处关口

• 别把 $x$ 的取值范围忘了。 题面往往写着「$M$ 不在 $\ell$ 上」之类的限制， 它排除掉的恰恰是目标量没定义的那一两个 $x$。写答案时要说明这几处，但不能拿它们 当「常数在这几点不成立」的把柄——那几点本来就不在讨论范围内。
• 「与 $x$ 无关」要在无穷多个 $x$ 上说话。 代两个特值只能给出候选（必要条件）， 最后必须回代验证一次（充分性）；反过来，第 3 步那种恒等变形是一步到位的等价， 不必再验。两条路各自都完整，别写成半条。