浙江 2012 · 数学 q03

冷启动：先把箭头钉死，再想清楚「代进去试试」为什么不够

题面给的是两条带参数的直线

$$l_1:\ ax+2y-1=0,\qquad l_2:\ x+(a+1)y+4=0 ,$$

问「$a=1$」是「$l_1$ 与 $l_2$ 平行」的什么条件。

第一件事，认清谁相对谁。 题干的句式是「『$p$』是『$q$』的（　）条件」，所以 $p$ 是「$a=1$」，$q$ 是「两条直线平行」。要判的是两个方向：

• 充分性：$a=1\ \Rightarrow$ 两线平行？
• 必要性：两线平行 $\Rightarrow a=1$？

第二件事，是这道题真正的分水岭。 顺手的做法是把 $a=1$ 代进去看一眼：两条直线成了 $x+2y-1=0$ 与 $x+2y+4=0$，一眼平行。充分性到手了——可这一步对必要性零信息。无论必要性成立与否，$a=1$ 都代得进去、都平行；拿它当必要性的证据，是用一个恒真的现象去证一件可真可假的事。

必要性问的完全是另一回事：除了 $1$，还有没有别的 $a$ 也让它们平行？ 这个问题只有一个正经答法——把「平行」这个条件单独解一遍，看它的解一共有几个，再看 $a=1$ 是不是全部。

先把结论摆在这里：让两条直线平行的 $a$ 一共有两个——$1$ 与 $-2$，比「只有 $1$」多出一个。于是 $a=1$ 充分而不必要，选 A。下面三条路，区别只在怎么把这两个取值拿到手。

解法一：一般式的平行条件——解出全部的 $a$，两支都回代验不重合

怎么想到的。 必要性要的就是「平行的 $a$ 全体」，那就别绕，直接把它解出来。

两条直线写成一般式 $A_1x+B_1y+C_1=0$ 与 $A_2x+B_2y+C_2=0$ 时，它们方向相同的条件是

$$A_1B_2-A_2B_1=0 .$$

本题里 $A_1=a$、$B_1=2$，$A_2=1$、$B_2=a+1$，代进去：

$$a(a+1)-2\cdot 1=0\ \Longrightarrow\ a^{2}+a-2=0\ \Longrightarrow\ (a-1)(a+2)=0 ,$$

解得 $a=1$ 或 $a=-2$。

两支都要回代，因为上面那条式子把「重合」也一并收了进来：

• $a=1$：$l_1: x+2y-1=0$，$l_2: x+2y+4=0$。$x$、$y$ 的系数完全相同，而常数项 $-1\neq 4$，不是同一条直线——真平行。
• $a=-2$：$l_1: -2x+2y-1=0$，两边同乘 $-1$ 得 $2x-2y+1=0$；$l_2: x-y+4=0$，两边同乘 $2$ 得 $2x-2y+8=0$。同样是系数相同、常数项 $1\neq 8$——也真平行。

两支都留下，于是

$$\{a\mid l_1\parallel l_2\}=\{1,-2\}\ \supsetneq\ \{1\} .$$

$1$ 在这两个取值之中 → 充分性成立；除它之外还有一个 $-2$ → 必要性不成立。充分不必要条件，选 A。

避坑两处。

• 平行与垂直的坐标条件长得很像。 平行是 $A_1B_2-A_2B_1=0$（交叉相乘作差），垂直是 $A_1A_2+B_1B_2=0$（对应相乘求和）。记混会解出 $a\cdot 1+2(a+1)=0$，即 $a=-\dfrac{2}{3}$——一个选项都对不上，反而是好事，怕的是在别的题上恰好也解得出漂亮的数。
• $A_1B_2-A_2B_1=0$ 判的是「平行或重合」。 不回代看常数项，就可能把重合的那一支当成平行留了下来。本题两支恰好都不重合，是题目手下留情，不是这一步可以省——它的成本只有一行。

解法二：两个方向分开查——正向代一次验充分，反向造一个反例断必要

怎么想到的。 选择题只要定性，不必求出完整解集：充分性一个正例、必要性一个反例，两件事就齐了。

充分性：代一次就够。 $a=1$ 时 $l_1: x+2y-1=0$、$l_2: x+2y+4=0$，两条直线的法向量都是 $(1,2)$，方向相同；常数项 $-1\neq 4$，不重合。平行成立，充分性通过。

必要性：构造反例。 要否定「平行 $\Rightarrow a=1$」，只需找出一个 $a\neq 1$ 却仍然平行的值。怎么凑？让 $l_1$ 的两个系数是 $l_2$ 的同一个倍数 $\lambda$：

$$a=\lambda\cdot 1,\qquad 2=\lambda\,(a+1) .$$

把上式的 $\lambda=a$ 代进下式，得 $a(a+1)=2$；除掉已知的 $a=1$，还剩 $a=-2$。验一验：$a=-2$ 时 $l_1: -2x+2y-1=0$，$l_2: x-y+4=0$ 乘 $-2$ 得 $-2x+2y-8=0$——与 $l_1$ 只差常数项，平行且不重合。

于是 $a=-2$ 是一个货真价实的反例，必要性不成立。一正一反合起来：充分不必要条件，选 A。

这条路的好处与代价。 好处是反例只要举得出一个就完事，不必写出完整解集，卷面上最短。代价是反例得自己凑——凑不出来时不能反过来说「所以必要性成立」，那只说明你没找到，不说明它不存在；那时仍要退回解法一，把解集老老实实解全。

解法三：化成斜截式比斜率——先把「斜率不存在」那一支单独处理掉

怎么想到的。 平行最直观的说法是「斜率相等、截距不等」。但写下 $y=kx+b$ 的那一刻，就默认了斜率存在——竖直的那一条得先拎出来单独交代。

先看谁可能竖直。 $l_1$ 里 $y$ 的系数恒为 $2\neq 0$，所以 $l_1$ 永远不竖直，斜率恒为 $-\dfrac{a}{2}$。$l_2$ 里 $y$ 的系数是 $a+1$：当 $a=-1$ 时 $l_2$ 退化成 $x+4=0$，是一条竖直直线。

$a=-1$ 这一支。 此时 $l_1: -x+2y-1=0$ 的斜率是 $\dfrac{1}{2}$，而 $l_2$ 竖直、没有斜率。一条竖直、一条不竖直，不可能平行——这一支排除。

$a\neq -1$ 这一支。 两条都能写成斜截式：

$$l_1:\ y=-\frac{a}{2}\,x+\frac{1}{2},\qquad l_2:\ y=-\frac{1}{a+1}\,x-\frac{4}{a+1} .$$

平行 $\iff$ 斜率相等且截距不等。先让斜率相等：

$$-\frac{a}{2}=-\frac{1}{a+1}\ \Longrightarrow\ a(a+1)=2\ \Longrightarrow\ a=1\ \text{或}\ a=-2 .$$

再验截距：$l_1$ 的截距恒为 $\dfrac{1}{2}$；$a=1$ 时 $l_2$ 的截距是 $-\dfrac{4}{2}=-2$，$a=-2$ 时是 $-\dfrac{4}{-1}=4$，两次都不等于 $\dfrac{1}{2}$。两支都留下：

$$\{a\mid l_1\parallel l_2\}=\{1,-2\} .$$

和解法一落到同一对取值，结论一样：$a=1$ 充分不必要，选 A。

避坑。 $a=-1$ 那一支必须写出来，并说明它为什么不满足，不能默认「斜率总是存在」就直接除以 $a+1$——那一步等于偷偷假设了 $a\neq -1$。本题里 $a=-1$ 恰好不平行，漏掉不改答案；换一道题它可能正好是解，一漏就整条丢掉。

三条提醒

1. 「代进去成立」只证得了充分性。 无论必要性真假，$a=1$ 都代得进去、都平行。必要性只有一个正经答法：把条件的解集解全，再看给定的那个值是不是它的全部。本题的解集是 $\{1,-2\}$，多出来的 $-2$ 就是把「充分必要」降成「充分不必要」的那一个元素。
2. $A_1B_2-A_2B_1=0$ 判的是「平行或重合」。 解出参数后逐个回代看常数项，重合的删掉。本题两支都不重合，属于运气；这一行的成本远低于它挡下的错。
3. A 与 B 说反就正好落进对方。 「充分不必要」与「必要不充分」互为镜像，选定之前把题干重抄成一支箭头：$p$ 是「$a=1$」、$q$ 是「平行」，问的是 $p$ 相对 $q$。箭头射出的一端充分，射入的一端必要。