点差法算完不验中点在曲线内

错在哪

点差法的两条式子是把 $P_1$、$P_2$ 代进曲线方程再相减得到的。整个过程从头到尾没有要求这两个点是实的—— 你可以把一对共轭虚点代进去，相减照样成立。所以点差法给出的 「$k$ 与中点 $(x_0,y_0)$ 的关系」是必要条件，不是充要条件。

典型翻车：椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 中，求以 $M(2,1)$ 为中点的弦所在直线。 点差法给 $k\cdot\dfrac{1}{2}=-\dfrac{2}{4}$，得 $k=-1$，于是「答案」是 $y-1=-(x-2)$。 可是 $\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac32>1$，$M$ 在椭圆外—— 以它为中点的弦压根不存在，这道题的正确回答是「不存在」。

怎么避免

1. 先看中点在不在里面，再动笔。椭圆看 $\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}<1$， 抛物线看 $y_0^2<2px_0$，双曲线还要再判这条弦是同支还是跨支。 这一步只要代一次数。
2. 或者在最后补判别式。把点差法解出的直线回代曲线，检查 $\Delta>0$。 与第 1 条等价，但计算量大些——所以能用「中点在内部」就别硬算 $\Delta$。
3. 参数题里把它写成不等式带着走。若中点坐标含参数，「在内部」就是对参数的一条约束， 往往正是最后取值范围的来源；漏掉它，范围会算大。
4. 答案是「不存在」也要敢写。中点在曲线外时，标准答案就是不存在—— 点差法算出的那个 $k$ 是个幻影，把它写上去不给分。