轨迹与已知曲线的交点

题型说明

• 常见问法：「设点 $P$ 满足〈某个距离条件〉，且 $P$ 为〈另一条曲线〉上的点，则〈某个量〉$=$（　）」——单选，四个选项都是具体的数。
• 关键动作：两个条件各出一条曲线，要找的点就是它们的交点。所以这类题一定是三步：
  1. 把距离条件翻成方程——和 / 差为常数就用定义直接认（套路「距离和差认圆锥曲线」），比设点写两个根号快得多；
  2. 把另一条曲线也写成方程——题面常给的是形如 $y=k\sqrt{r^2-x^2}$ 的显式函数，要自己两边平方化成方程，并记住平方后的那条曲线比原来的图象多了一半；
  3. 联立。两条方程都只含 $x^2$、$y^2$ 时可以整体换元（套路「平方项换元化成线性方程组」）。
• 收口：交点定下来后，题目要的量（距离、面积、某个坐标）再算一遍。若要的只是 $x^2+y^2$ 这类偶次量，开方定号那一步可以整段跳过。
• 陷阱全在范围上：双曲线是一支还是两支、那条弧是上半还是下半、$x$ 的定义域是什么。这三处任漏一处，联立就会多出不该有的根——只是选择题里常常「碰巧不影响答案」，所以更要养成回代验一句的习惯。