浙江 2020 · 数学 q08

冷启动：三句话，各管一件事

题面给了三句话，把它们各自翻成「一条曲线」或「一个要算的量」，这道题就摆平了一半。

第一句「点 $O(0,0)$，$A(-2,0)$，$B(2,0)$」只是把舞台搭好：$A$、$B$ 关于原点对称，$|AB|=4$， 而 $O$ 恰好是 $AB$ 的中点。记住这一点——它保证接下来那条曲线的中心就在原点，标准方程可以直接写。

第二句「设点 $P$ 满足 $|PA|-|PB|=2$」是到两定点的距离之差为常数，这就是双曲线的定义。 按套路「距离和差认圆锥曲线」读数：常数 $2$ 是 $2a$，所以 $a=1$；$|AB|=4$ 是 $2c$，所以 $c=2$； 于是 $b^2=c^2-a^2=3$。焦点在 $x$ 轴上，标准方程是

$$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1 .$$

还有一个字不能漏：题面写的是 $|PA|-|PB|=2$，外面没有绝对值。差是正的，说明 $P$ 离 $B$ 更近， 所以只取靠 $B$ 的那一支，也就是右支（$x\geqslant 1$）。

第三句「$P$ 为函数 $y=3\sqrt{4-x^2}$ 图象上的点」给的是第二条曲线。它是个函数， 所以 $y\geqslant 0$；根号要有意义，所以 $|x|\leqslant 2$。两边平方得 $y^2=9(4-x^2)$，即

$$9x^2+y^2=36 ,\qquad\text{也就是}\qquad \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{36}=1 .$$

这是一条长轴在 $y$ 轴上的椭圆，而题面给的图象只是它的上半。注意根号前面那个系数 $3$： 少看它就会把这条弧当成半径 $2$ 的半圆，整道题的形状就错了。

要算的是 $|OP|$，也就是 $\sqrt{x^2+y^2}$——一个只含平方的量。这句话看起来最无害， 其实是解法二的全部出发点。

于是问题变成：两条曲线（双曲线右支、上半椭圆）的交点在哪里，它到原点有多远。

解法一：两条曲线都写出来，联立解出 $P$，再量 $|OP|$

把冷启动里那两条方程摆在一起，连范围一起抄下来：

$$\begin{cases} x^2-\dfrac{y^2}{3}=1, & x\geqslant 1\ (\text{右支}),\\[2mm] 9x^2+y^2=36, & y\geqslant 0,\ |x|\leqslant 2\ (\text{上半}). \end{cases}$$

第一式里 $y^2$ 是现成的：$y^2=3(x^2-1)=3x^2-3$。代进第二式消去 $y$：

$$9x^2+(3x^2-3)=36\ \Longrightarrow\ 12x^2=39\ \Longrightarrow\ x^2=\frac{13}{4}.$$

两处定号，一处也不能省。 因为在右支上要 $x\geqslant 1$，取正根

$$x=\frac{\sqrt{13}}{2}\approx 1.803 ,$$

它同时满足 $|x|\leqslant 2$——上半椭圆的定义域装得下它，交点是真的存在。再回第一式：

$$y^2=3\Bigl(\frac{13}{4}-1\Bigr)=\frac{27}{4},$$

因为在上半支上要 $y\geqslant 0$，取正根 $y=\dfrac{3\sqrt3}{2}$。于是

$$P\Bigl(\frac{\sqrt{13}}{2},\ \frac{3\sqrt3}{2}\Bigr),\qquad |OP|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{13}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{10} .$$

选 D。

自检两句：把 $P$ 代回两条原式。双曲线：$\dfrac{13}{4}-\dfrac{27/4}{3}=\dfrac{13}{4}-\dfrac94=1$， 对。那条弧：$3\sqrt{4-\frac{13}{4}}=3\sqrt{\frac34}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$，也对——注意这一句同时验了 $y$ 的符号（右边天然非负），代回原来的含根号的式子比代回平方后的式子更可靠。

解法二：只要 $x^2+y^2$，那就把 $x^2$、$y^2$ 当未知量

两个条件各给一条方程。距离之差 $|PA|-|PB|=2$ 是双曲线的定义：$2a=2$ 故 $a^2=1$， $2c=|AB|=4$ 故 $c=2$、$b^2=c^2-a^2=3$，差为正说明 $P$ 离 $B$ 近，取靠 $B$ 的右支。 $y=3\sqrt{4-x^2}$ 两边平方得第二条（同时记下 $y\geqslant 0$、$|x|\leqslant 2$）。两条摆在一起：

$$x^2-\frac{y^2}{3}=1 ,\qquad 9x^2+y^2=36 .$$

$x$ 和 $y$ 只以平方出现，没有 $xy$，也没有一次项。那就换元：令 $u=x^2$、$v=y^2$， 两条方程各变成一条一次方程

$$3u-v=3 ,\qquad 9u+v=36 ,$$

（作为 $(u,v)$ 平面上的图形，右支是从 $(1,0)$ 出发的一条射线，那条椭圆弧是端点为 $(0,36)$ 与 $(4,0)$ 的一条线段——都在同一条直线上，只是各取了一段。）

而要算的 $|OP|^2=x^2+y^2$ 恰好就是 $u+v$——也是 $u$、$v$ 的一次式。

于是根本不必解这个方程组：把目标配成两式的线性组合就行。 找 $\lambda$、$\mu$ 使

$$\lambda(3u-v)+\mu(9u+v)=u+v .$$

比对 $u$ 的系数得 $3\lambda+9\mu=1$，比对 $v$ 的系数得 $-\lambda+\mu=1$。后者给 $\lambda=\mu-1$， 代入前者：$3(\mu-1)+9\mu=1$，即 $12\mu=4$，所以

$$\mu=\frac13 ,\qquad \lambda=-\frac23 .$$

左边既然等于 $u+v$，右边就把答案交出来了：

$$|OP|^2=u+v=-\frac23\times 3+\frac13\times 36=-2+12=10 ,$$

$|OP|=\sqrt{10}$，选 D。全程没有开过一次方，也没有判过一次符号。

但范围还是要回头补一句。 换元 $u=x^2$、$v=y^2$ 把符号信息全扔了，所以要确认这个 $(u,v)$ 真的对应一个合法的 $P$。由两式解得 $u=\dfrac{13}{4}$、$v=\dfrac{27}{4}$（这一步只是验算，不是求解）， 两个都为正，故 $x=\pm\sqrt u$、$y=\pm\sqrt v$ 都是实数。「在双曲线上」本来就由 $3u-v=3$ 保证； 由它顺带得到 $u=1+\dfrac v3\geqslant 1$，但 $u\geqslant 1$ 两支都满足，所以定支靠的是取 $x>0$。 同样，$u\leqslant 4$ 说明它在那条弧的定义域里，而定半支靠的是取 $y>0$。两个号一定， 就回到了解法一的那个 $P$。交点存在，答案作数。

两条路差在哪

解法一把 $P$ 解出来了，代价是开两次方、每次都要定一次号（$x>0$ 因为在右支，$y>0$ 因为是上半支）。 好处是后面无论再问什么——$P$ 的横坐标、$P$ 到某条直线的距离、$\triangle PAB$ 的面积——都是现成的。

解法二根本没解 $P$，它只回答被问的那一个量。换元之后两条曲线变成两条直线，目标 $u+v$ 也变成 一次式，于是「求交点再算目标」被压成「把目标配成两式的线性组合」一步。代价是它给不出 $P$ 的坐标： 题目一改成「求 $P$ 的横坐标」，就得回到解法一。

图 ② 说明解法二不是巧合。在 $(u,v)$ 平面里，$u+v=$ 常数是一族斜率为 $-1$ 的平行线，那个常数就是 它的纵截距；求 $|OP|^2$ 就是问「过那个交点的那条平行线，纵截距是多少」。既然交点由两条直线唯一 定出，这个截距当然可以只用两条直线的系数与常数项算出来，不必先把交点坐标写下来。

图 ① 顺带解释了本题一个容易被误读成「规律」的巧合：整条椭圆与整条双曲线交出四个点 $\bigl(\pm\frac{\sqrt{13}}2,\ \pm\frac{3\sqrt3}2\bigr)$，四点关于两条坐标轴对称，到 $O$ 的距离全是 $\sqrt{10}$。所以这道题里「取哪一支、取哪一半」压根不影响答案——但这是问法（只问 $|OP|$）带来的 运气，不是双曲线的性质。下一条避坑就说这件事。

避坑

• 距离之差给的是 $2a$，不是 $a$。 $|PA|-|PB|=2$ 读出的是 $2a=2$，故 $a=1$、$a^2=1$。 顺手写成 $a=2$ 就得到 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{?}=1$，从第一步起全盘皆错。这跟题面给「实轴长」 时的因子 $2$ 是同一个坑（易错点「实轴长与半实轴混用」）：题面给的永远是整条轴、整个差。
• 题面没有外层绝对值，就只有一支。 $|PA|-|PB|=2>0$ 说明 $P$ 离 $B$ 近，取靠 $B$ 的右支； 写成 $\bigl||PA|-|PB|\bigr|=2$ 才是两支。本题因为只问 $|OP|$，两支给同一个数——换成 「求 $P$ 的横坐标」，左支给 $-\frac{\sqrt{13}}2$，答案立刻不同。
• $y=3\sqrt{4-x^2}$ 是半条曲线，不是整条。 它是函数，$y\geqslant 0$；两边平方得到的 $9x^2+y^2=36$ 是整条椭圆，下半那一半是平方造出来的（易错点「开方丢绝对值」讲的就是这件事： $\sqrt{y^2}=|y|$）。定义域 $|x|\leqslant 2$ 同样在平方后看不见了，所以解出 $x^2=\frac{13}{4}<4$ 之后必须点一句「装得下」。
• 系数 $3$ 在根号外面，不在里面——这是选项 C 专门等着的那一步。 把 $y=3\sqrt{4-x^2}$ 误读成 $y=\sqrt{3(4-x^2)}$，平方后得 $y^2=12-3x^2$，与 $y^2=3x^2-3$ 联立给 $6x^2=15$，即 $x^2=\frac52$、$y^2=\frac92$，于是 $|OP|=\sqrt{\frac52+\frac92}=\sqrt7$——正是选项 C。四个选项不是随便凑的， C 就为这一种读法准备着，算出 $\sqrt7$ 时不会有任何「不对劲」的感觉。 顺带一提：$y=\sqrt{4-x^2}$ 才是半径 $2$ 的上半圆，$y=3\sqrt{4-x^2}$ 的 $y$ 方向半轴是 $6$， 是一条竖着的半椭圆弧——三种读法给三种形状，抄题时那个 $3$ 的位置要盯住。
• $b^2=c^2-a^2$，别写成 $a^2-c^2$。 双曲线里 $c$ 最大（公式「双曲线的 $a$、$b$、$c$ 关系」）。 写反会得到 $b^2=-3$，接下来每一步都在算一条不存在的曲线。
• 凡是只问 $x^2+y^2$ 这类偶次量，先想一步能不能不求点。 两条方程都只含平方时， $u=x^2$、$v=y^2$ 的换元把圆锥曲线的联立降成二元一次方程组；能把目标配成线性组合， 开方与定号那一整段就都省了。这不是本题特有的技巧，是套路 「平方项换元化成线性方程组」的常规用法。

收口

这道题的骨架短得出奇：距离之差 $\to$ 双曲线右支，含根号的函数 $\to$ 上半椭圆，两条曲线求交点。 真正拉开差距的是两处细节——常数 $2$ 是 $2a$ 而不是 $a$，以及「一支 / 半支」的三处范围。 把要算的量看清楚（只含平方），还能换来一条完全不用开方的路：$|OP|^2$ 就是那两条直线方程的一个 线性组合，$-\frac23\times 3+\frac13\times 36=10$，一步到底。