距离和差认圆锥曲线

解题套路

1. 数常数、数焦距。条件里那个常数是 $2a$（不是 $a$）；两定点之间的距离是 $2c$。两个数一读出来，$a$、$c$ 就有了。
2. 判类型与存在性。距离之和为常数 $\Rightarrow$ 椭圆，要 $2a>2c$；距离之差的绝对值为常数 $\Rightarrow$ 双曲线，要 $0<2a<2c$。取等的情形会退化（前者退化成线段，后者退化成两条射线），也要能认出来。
3. 摆位置。以两定点的连线为一条坐标轴、以它们的中点为原点，写标准方程；焦点在哪个轴上，决定 $x^2$、$y^2$ 谁做正项。两定点不关于原点对称时，先平移——标准方程只对中心在原点的情形成立。
4. 补 $b^2$。椭圆 $b^2=a^2-c^2$，双曲线 $b^2=c^2-a^2$。
5. 收范围。题面写的是不带绝对值的差时只取一支：差为正说明动点离减号后面那个焦点更近，取靠它的那一支。写成「距离之差的绝对值」才是两支。

注意

• 第 1 步那个「常数是 $2a$」是最常丢的一步：题面给「距离之差为 $2$」时 $a=1$，顺手写成 $a=2$ 整道题就废了（同一个因子 $2$ 的另一种样子见易错点「实轴长与半实轴混用」）。
• 第 5 步的符号定分支，见易错点「双曲线定义漏判所在分支」。
• 这套动作省掉的正是「设点 $(x,y)$、两个根号相减、移项平方两次」那一长串。只有当条件不是标准的和 / 差（比如距离之积、距离之比）时才回到设点硬算，那属于套路「距离条件坐标化」。