平方项换元化成线性方程组

解题套路

1. 验前提。两条方程里 $x$、$y$ 的次数全是偶的——没有 $xy$、没有一次项。一旦出现一次项（比如圆心不在原点的圆），这个换元就不成立。

2. 换元。令 $u=x^2$、$v=y^2$，两条方程写成

   $$a_1u+b_1v=c_1,\qquad a_2u+b_2v=c_2 .$$

3. 看目标。目标能不能写成 $pu+qv$？到原点距离的平方 $x^2+y^2$、两坐标平方之差 $x^2-y^2$、到某条坐标轴距离的平方……都能。

4. 配线性组合（不是必须，但常常最省）。找 $\lambda$、$\mu$ 使

   $$\lambda(a_1u+b_1v)+\mu(a_2u+b_2v)=pu+qv ,$$

   即解 $\lambda a_1+\mu a_2=p$、$\lambda b_1+\mu b_2=q$；于是 $pu+qv=\lambda c_1+\mu c_2$ 当场得数，$u$、$v$ 各自是多少都不用问。

5. 回代验范围。$u\ge 0$、$v\ge 0$ 是硬条件；原题对 $x$、$y$ 的符号 / 分支 / 半支限制也要补回来。换元把这些信息全扔了，第 5 步就是把它捡回来。

注意

• 换元丢掉的是符号：一个 $(u,v)$ 最多对应四个 $(x,y)$。题目要坐标就得开方并逐个定号；只问 $x^2+y^2$ 这类偶次量时，四个点给同一个数，这才是第 4 步敢跳过求解的原因。
• $\lambda$、$\mu$ 是解一个二元一次方程组得来的，不是猜的。若系数矩阵奇异（目标配不出来），就老老实实解出 $u$、$v$ 再代。
• 反过来也常用：题目给的是 $x^2+y^2$（比如「$P$ 在圆上」），换元后同样是一条直线，与另一条一起解。