抛物线上的点用参数表示

解题套路

抛物线 $y^{2}=2px\ (p>0)$ 上的点，横坐标由纵坐标唯一决定：$x=\dfrac{y^{2}}{2p}$。 所以取纵坐标当参数，点就是

而且 $t\mapsto P(t)$ 是抛物线上点的一一参数化——不漏点、不重复。 $y^{2}=4x$ 时习惯改写成 $P(m)=(m^{2},2m)$（即 $t=2m$），系数最干净。

1. 两点设两个参数。$A(a^{2},2a)$、$B(b^{2},2b)$，$a\neq b$。

2. 弦的斜率一步算出。

   $$k_{AB}=\frac{2b-2a}{b^{2}-a^{2}}=\frac{2}{a+b}\qquad(a+b\neq0).$$

   $a+b=0$ 对应竖直弦（$x=a^{2}$），单独处理；「斜率存不存在」这件事被翻译成了 $a+b$ 是不是 $0$， 比设 $y=kx+m$ 再讨论 $k$ 是否存在干净。

3. 与坐标轴的交点直接代。弦 $AB$ 与 $y$ 轴交于

   $$\left(0,\ \frac{2ab}{a+b}\right).$$

4. 焦点弦有个极简判据。对 $y^{2}=4x$（焦点 $(1,0)$），

   $$A,B,F\ \text{共线}\iff ab=-1 .$$

   一般地对 $y^{2}=2px$ 用 $t$ 参数是 $t_{A}t_{B}=-p^{2}$。

5. 面积用坐标行列式。三点 $(x_i,y_i)$ 的三角形面积 $S=\frac12\left|x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})\right|$， 代进参数后是 $a,b$ 的多项式，常能整体约掉公因子。

为什么这一步值钱

• 少一次分类讨论。设 $y=kx+m$ 必须先问「$k$ 存不存在」；参数化把这个问题 变成代数条件 $a+b\neq0$，而它往往被题目的其他条件自动排除。
• 焦半径变成参数的多项式。$|PF|=x_{P}+\dfrac p2$，对 $y^{2}=4x$ 就是 $|P(m)F|=m^{2}+1$—— 无根号。要比较两条焦半径、要把 $x_{P}$ 换成 $|PF|-1$，都是一步。
• 对称性看得见。$a$ 与 $b$ 互换时哪些量不变（如交点纵坐标 $\frac{2ab}{a+b}$、$ab+1$）， 一眼就能读出来，省掉大量验算。

注意

• 别把参数当成坐标。$P(m)=(m^{2},2m)$ 里 $m$ 是纵坐标的一半，不是横坐标。
• $a+b=0$ 与 $ab=0$ 各有含义：前者是竖直弦，后者说明有一点落在原点。 题目若说「三点互不相同」「直线不过原点」，往往正是为了排除它们，动笔前先把这些条件翻译过来。
• 参数化只适用于抛物线。椭圆、双曲线的点不能用纵坐标唯一确定（一个 $y$ 对两个 $x$）， 它们要用三角参数或双曲参数。