浙江 2015 · 数学 q05

冷启动：先把抛物线的三件家当摆出来

抛物线是 $y^{2}=4x$，对照标准式 $y^{2}=2px$ 得 $2p=4$，即 $p=2$。于是

$$\text{焦点 } F(1,0),\qquad \text{准线 } x=-1,\qquad \text{焦半径 } |PF|=x_{P}+1 .$$

准线与 $y$ 轴恰好相距 $1$——这个 $1$ 就是选项里那个 $1$ 的来源。

再看题目给的三个条件，每一个都在后面用得上：

• $A,B$ 在抛物线上：可以用焦半径公式，把横坐标换成 $|AF|$、$|BF|$；
• $C$ 在 $y$ 轴上：$C$ 的横坐标是 $0$，于是「到 $C$ 的距离之比」能换成「横坐标之比」；
• 直线不经过焦点：保证 $F$ 不在直线 $ABC$ 上，两个三角形才都有正的面积（否则它们退化成线段，比值无意义）。

四个选项都长成「$|BF|$ 的某个式子比 $|AF|$ 的同款式子」，说明答案只跟两条焦半径有关。 剩下要做的就是把面积之比一路化到焦半径上。

解法一：同高比底，把底之比换成到 $y$ 轴的水平距离之比

第一步：两个三角形同高，面积之比就是底之比

记 $A,B,C$ 所在的那条直线为 $\ell$。两个三角形

$$\triangle BCF:\ \text{底 } BC\subset\ell,\ \text{顶点 } F;\qquad \triangle ACF:\ \text{底 } AC\subset\ell,\ \text{顶点 } F$$

共用同一个顶点 $F$，两条底边落在同一条直线 $\ell$ 上，所以 $F$ 到两条底边所在直线的距离 是同一个数 $h$（$h$ 就是点 $F$ 到 $\ell$ 的距离）。题给「直线不经过焦点」，即 $F\notin\ell$，故 $h>0$。 由 $S=\frac12\cdot\text{底}\cdot\text{高}$：

$$\frac{S_{\triangle BCF}}{S_{\triangle ACF}} =\frac{\frac12|BC|\,h}{\frac12|AC|\,h}=\frac{|BC|}{|AC|}.$$

（$A,B,C$ 是三个不同的点，所以 $|AC|\neq0$，比值有意义。）

第二步：$\ell$ 不是竖直的

若 $\ell$ 竖直，则 $A,B,C$ 的横坐标相同；$C$ 在 $y$ 轴上给出这个公共横坐标是 $0$， 于是 $A,B$ 都满足 $x=0$，代进 $y^{2}=4x$ 得 $y=0$，即 $A=B=(0,0)$，与「三个不同的点」矛盾。 所以 $\ell$ 不竖直。

（同理 $A\neq C$、$B\neq C$ 说明 $A,B$ 都不在 $y$ 轴上，故 $x_{A}>0$、$x_{B}>0$。）

第三步：共线三点的距离之比 $=$ 横坐标之差的比

$\ell$ 不竖直，设它的方向向量为 $(1,k)$。$\ell$ 上任意两点的距离等于它们横坐标之差的绝对值 乘同一个常数 $\sqrt{1+k^{2}}$，所以

$$\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|x_{B}-x_{C}|}{|x_{A}-x_{C}|} \overset{x_{C}=0}{=}\frac{x_{B}}{x_{A}} .$$

图上把这一步画成了看得见的样子：过 $B$、$A$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足记为 $M$、$N$，则 $|BM|=x_{B}$、$|AN|=x_{A}$，上式就是 $\dfrac{|BC|}{|AC|}=\dfrac{|BM|}{|AN|}$。

第四步：抛物线的定义把横坐标换成焦半径

抛物线的定义：曲线上任一点到焦点的距离等于它到准线的距离。本题准线是 $x=-1$， 点 $B(x_{B},y_{B})$ 到准线的距离是 $x_{B}-(-1)=x_{B}+1$，所以

$$|BF|=x_{B}+1,\qquad\text{即}\qquad x_{B}=|BF|-1 .$$

同理 $x_{A}=|AF|-1$。图上的读法是：把 $B$ 水平引到准线上的 $D$，则 $|BD|=|BF|$； 而 $M$ 在 $D$ 与 $B$ 之间、$|DM|=1$（准线到 $y$ 轴的距离），于是

$$|BM|=|BD|-1=|BF|-1 .$$

第五步：合起来

$$\frac{S_{\triangle BCF}}{S_{\triangle ACF}} =\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{x_{B}}{x_{A}}=\frac{|BF|-1}{|AF|-1}.$$

（分母 $|AF|-1=x_{A}>0$，不为零。）对照选项，这是 A。

答案：A。

解法二：抛物线上的点设参数，把两块面积都算出来再相除

上一条路全程只比不算。这一条反着来：把两块面积各自算成一个式子，再相除。 好处是顺带看清「直线不经过焦点」这个条件到底管住了什么。

第一步：给抛物线上的点配一个参数

$y^{2}=4x$ 上的点可以写成

$$P(m)=(m^{2},\,2m),\qquad m\in\mathbb{R}$$

（验证：$(2m)^{2}=4m^{2}=4\cdot m^{2}$）。取 $A(a^{2},2a)$、$B(b^{2},2b)$，$a\neq b$。

由第「三个不同的点」，$A,B$ 都不在 $y$ 轴上，即 $a\neq0$、$b\neq0$。 又若 $a+b=0$，直线 $AB$ 是竖直线 $x=a^{2}$，它与 $y$ 轴无交点（$a\neq0$），与「$C$ 在 $y$ 轴上」矛盾， 所以 $a+b\neq0$。

第二步：定出 $C$

直线 $AB$ 的斜率

$$k=\frac{2b-2a}{b^{2}-a^{2}}=\frac{2}{a+b}.$$

它与 $y$ 轴的交点 $C(0,y_{C})$：

$$y_{C}=2a-k\,a^{2}=2a-\frac{2a^{2}}{a+b}=\frac{2a(a+b)-2a^{2}}{a+b}=\frac{2ab}{a+b}.$$

第三步：用坐标算 $S_{\triangle BCF}$

焦点 $F(1,0)$。三点 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ 的三角形面积

$$S=\frac12\bigl|x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})\bigr| .$$

取 $(x_{1},y_{1})=B(b^{2},2b)$、$(x_{2},y_{2})=C(0,y_{C})$、$(x_{3},y_{3})=F(1,0)$：

$$S_{\triangle BCF}=\frac12\bigl|b^{2}(y_{C}-0)+0\cdot(0-2b)+1\cdot(2b-y_{C})\bigr| =\frac12\bigl|y_{C}(b^{2}-1)+2b\bigr| .$$

代入 $y_{C}=\dfrac{2ab}{a+b}$，通分：

$$y_{C}(b^{2}-1)+2b=\frac{2ab(b^{2}-1)+2b(a+b)}{a+b} =\frac{2b\bigl(ab^{2}-a+a+b\bigr)}{a+b} =\frac{2b^{2}(ab+1)}{a+b}.$$

所以

$$S_{\triangle BCF}=\frac{b^{2}\,|ab+1|}{|a+b|}.$$

第四步：$S_{\triangle ACF}$ 由对称性直接写出

上式的推导里，$B$ 出现在 $b$ 的位置，而 $y_{C}=\frac{2ab}{a+b}$ 关于 $a,b$ 对称。 把 $a$ 与 $b$ 互换，$C$ 与 $F$ 不动、$B$ 换成 $A$，于是

$$S_{\triangle ACF}=\frac{a^{2}\,|ab+1|}{|a+b|}.$$

第五步：「直线不经过焦点」正好保证分母不为零

把 $F(1,0)$ 代进直线 $AB$：直线上横坐标为 $1$ 的点，纵坐标是

$$2a+\frac{2}{a+b}(1-a^{2})=\frac{2a(a+b)+2-2a^{2}}{a+b}=\frac{2(ab+1)}{a+b}.$$

它等于 $0$ 当且仅当 $ab+1=0$。所以

$$\text{直线 }AB\text{ 经过焦点}\iff ab=-1 .$$

题给「不经过焦点」，即 $ab+1\neq0$，于是上面两块面积都严格为正，可以相除。

第六步：相除

$$\frac{S_{\triangle BCF}}{S_{\triangle ACF}} =\frac{b^{2}|ab+1|/|a+b|}{a^{2}|ab+1|/|a+b|}=\frac{b^{2}}{a^{2}} .$$

最后把 $a^{2},b^{2}$ 换成焦半径。$B(b^{2},2b)$ 到 $F(1,0)$：

$$|BF|=\sqrt{(b^{2}-1)^{2}+4b^{2}}=\sqrt{b^{4}+2b^{2}+1}=b^{2}+1,$$

故 $b^{2}=|BF|-1$；同理 $a^{2}=|AF|-1$。于是

$$\frac{S_{\triangle BCF}}{S_{\triangle ACF}}=\frac{|BF|-1}{|AF|-1},$$

选 A。

答案：A。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一四步全是「换一种说法」，一次乘法都没做： 同高 $\Rightarrow$ 比底；$C$ 在 $y$ 轴上 $\Rightarrow$ 比横坐标；抛物线的定义 $\Rightarrow$ 比焦半径减一。 考场上就该这么走。它唯一的算术是「准线 $x=-1$ 到 $y$ 轴的距离是 $1$」—— 选项里那个 $1$ 就是它，把 $y^{2}=4x$ 的 $p$ 记成 $4$、准线记成 $x=-2$， 减出来的是 $|BF|-2$，四个选项里一个都对不上。

解法二把两块面积各算一遍，多花不少笔墨，换来两件解法一看不到的东西： 其一，两块面积共同的因子 $\dfrac{|ab+1|}{|a+b|}$ 一眼说明「比值与直线怎么摆无关」； 其二，$ab+1=0$ 恰好就是「直线过焦点」，于是题干那句「不经过焦点」不再是一句多余的话， 而是保证两块面积都不退化为零的那个条件。

一句话记住这道题：共顶点、底共线的两个三角形比面积，就是比底； 底之比又等于横坐标之比；抛物线的横坐标等于焦半径减去准线到 $y$ 轴的距离。