两角和与差的正切公式

教材原文

你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从 $C_{(\alpha \pm \beta)}$ ， $S_{(\alpha \pm \beta)}$ 出发，推导出用任意角 $\alpha$ ， $\beta$ 的正切表示 $\tan (\alpha +\beta)$ ， $\tan (\alpha -\beta)$ 的公式吗？

通过推导，可以得到：

$\tan (\alpha + \beta) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta},$

$\tan (\alpha - \beta) = \frac {\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}.$

类似地， $S_{(\alpha-\beta)}$ ， $C_{(\alpha-\beta)}$ ， $T_{(\alpha-\beta)}$ 都叫做差角公式.

$\begin{array}{r l} \tan (\alpha - \frac {\pi}{4}) & = \frac {\tan \alpha - \tan \frac {\pi}{4}}{1 + \tan \alpha \tan \frac {\pi}{4}} \\ & = \frac {\tan \alpha - 1}{1 + \tan \alpha} \\ & = \frac {- \frac {3}{4} - 1}{1 + (- \frac {3}{4})} = - 7. \end{array}$

公式

说明

• 它不是新公式，是前两条的商：$\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}$， 把两条展开式写出来、分子分母同除 $\cos\alpha\cos\beta$，右边就变成只含 $\tan\alpha$、$\tan\beta$ 的样子。 记不准的时候现推一次比硬背可靠——这也正是「同除余弦」这个动作的第一次露面。
• 符号：分子同号、分母反号。和角是 $\dfrac{+}{1-}$，差角是 $\dfrac{-}{1+}$。四个符号里最常错的是分母， 背的时候把它读成「分母跟分子对着干」。
• 使用前提：$\alpha$、$\beta$、$\alpha\pm\beta$ 三个角的正切都得存在（即都不是 $\frac{\pi}{2}+k\pi$）， 否则公式两边有一边没定义。真题里若出现 $\tan\alpha\tan\beta=1$，说明 $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}+k\pi$， 和角的正切不存在，这时该回到正弦余弦上去做。
• 最常用的特例是 $\beta=\frac{\pi}{4}$（$\tan\frac{\pi}{4}=1$）： $\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}$， $\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\tan\alpha-1}{1+\tan\alpha}$。 只要给出 $\tan\alpha$，这两个值一步就出来——课本例 3 与 2020 浙江 q13 的第二空都是它。
• 逆用是把「分式」收成「一个角的正切」：见到 $\dfrac{1+\tan 15^\circ}{1-\tan 15^\circ}$ 就该想到它是 $\tan(45^\circ+15^\circ)=\tan 60^\circ=\sqrt3$（课本例 4(3)）；见到 $\dfrac{\tan 12^\circ+\tan 33^\circ}{1-\tan 12^\circ\tan 33^\circ}$ 就该收成 $\tan 45^\circ=1$。这类题不化简只硬算，是把送分题做成计算题。
• 几何读法：斜率为 $k_1$、$k_2$ 的两条直线，夹角 $\varphi$ 满足 $\tan\varphi=\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}$—— 正是本公式（把斜率读成倾斜角的正切）。所以「$\tan(\theta-\frac{\pi}{4})$」等价于问「斜率 $\tan\theta$ 的线 与斜率 $1$ 的线夹角是多少」，这条读法在解析几何里也用得上。