浙江 2009 · 数学 q18

冷启动：给的是半个角，要的全是整个角

题面只有三个条件，第（Ⅰ）问用前两个，第（Ⅱ）问再加一个：

$$\cos\frac{A}{2}=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3,\qquad b+c=6 .$$

动手之前有三件事要先摆平。

① 给的是半角，用得上的全是整角。 面积公式里站着 $\sin A$，余弦定理里站着 $\cos A$，没有一处直接吃 $\dfrac A2$。所以第一步必然是「半角 $\to$ 整角」。手上只有 $\cos\dfrac A2$，就该挑 $\cos A=2\cos^2\dfrac A2-1$ 这张脸——三张脸等价，但另外两张（$1-2\sin^2\dfrac A2$、$\cos^2\dfrac A2-\sin^2\dfrac A2$）都要先把 $\sin\dfrac A2$ 求出来，白绕一步。

代进去：

$$\cos A=2\times\frac45-1=\frac35 .$$

（$\cos^2\dfrac A2=\left(\dfrac{2\sqrt5}{5}\right)^2=\dfrac{4\times5}{25}=\dfrac45$。）

② 数量积里的夹角就是 $A$ 本身。 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 同起点于 $A$，它们的夹角正是这个三角形在 $A$ 处的内角。于是

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =\bigl|\overrightarrow{AB}\bigr|\cdot\bigl|\overrightarrow{AC}\bigr|\cos A =cb\cos A .$$

注意 $\bigl|\overrightarrow{AB}\bigr|=c$、$\bigl|\overrightarrow{AC}\bigr|=b$（对边记法：$a$ 对着 $A$）。题面写的是 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 而不是 $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}$，正是为了让夹角恰好是内角：换一个方向，夹角变成 $\pi-A$，数量积整个变号。

③ $A$ 是内角，一切符号判断都省了。 $A\in(0,\pi)\Rightarrow\sin A>0$，由 $\cos A=\dfrac35$ 反求

$$\sin A=\sqrt{1-\left(\tfrac35\right)^2}=\frac45$$

不必讨论正负；同理 $\dfrac A2\in\left(0,\dfrac\pi2\right)$，$\sin\dfrac A2$ 与 $\tan\dfrac A2$ 都取正。

还有一件事值得先记下来。 第（Ⅱ）问要的是 $a$，而

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

只吃 $b^2+c^2$ 与 $bc$ 两块，$b$、$c$ 各是多少并不出现。而 $b+c=6$ 与 $bc$ 恰好把这两块都定死了：$b^2+c^2=(b+c)^2-2bc$。所以下面前两条路都不解 $b$、$c$；第三条路偏要解出来，作为对照。

解法一：半角一步到整角：先把 $\cos A$ 与 $\sin A$ 拿到手，两问顺着算

这是官方解析走的路，只在第（Ⅱ）问上比它更省一步。

① 倍角，把 $\dfrac A2$ 换成 $A$。

$$\cos A=2\cos^2\frac A2-1=2\times\frac45-1=\frac35 .$$

② 平方关系，把 $\cos A$ 换成 $\sin A$。

$$\sin A=\sqrt{1-\frac9{25}}=\frac45\qquad(A\in(0,\pi)\Rightarrow\sin A>0).$$

③ 数量积反解 $bc$。

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=bc\cos A=3 \quad\Longrightarrow\quad bc=\frac{3}{3/5}=5 .$$

④ 第（Ⅰ）问：三角形面积公式，一步到底。

$$S_{\Delta ABC}=\frac12\,bc\sin A=\frac12\times5\times\frac45=2 .$$

面积 $=2$。

⑤ 第（Ⅱ）问：余弦定理 $+$ 整体代换，不解 $b$、$c$。 关键是把 $b^2+c^2$ 换成已知量：

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A =\underbrace{(b+c)^2-2bc}_{b^2+c^2}-2bc\cos A =(b+c)^2-2bc\,(1+\cos A).$$

代数：

$$a^2=6^2-2\times5\times\left(1+\frac35\right)=36-10\times\frac85=36-16=20 ,$$ $$a=2\sqrt5 .$$

⑥ 为什么值得多写这一行。 官方解析在这里先解出 $b=5,c=1$ 或 $b=1,c=5$，再代进余弦定理。解出来当然也对（解法三就走那条），但多了一个二次方程，而且一旦 $b+c$ 与 $bc$ 配出来的判别式不是完全平方（比如把 $b+c$ 改成 $7$），$b$、$c$ 就成了两个带根号的数，代进去还要通分。整体代换那一步对这些一概免疫：它只吃 $b+c$ 与 $bc$，从来不问这两个数长什么样。

⑦ 自检。 三角形不等式：$b+c=6>a=2\sqrt5\approx4.47$ ✓，$|b-c|=4<a$ ✓。再看一眼 $\cos A=\dfrac35>0$，$A$ 是锐角，$a$ 是最短边还是最长边？$b=5$ 最长、$a\approx4.47$ 次之、$c=1$ 最短——最大边 $b$ 对最大角 $B$，与 $A$ 是锐角不冲突。

解法二：把 $3$ 当成一个整体——面积只差一个正切，$bc$ 只差一次平方相加

这条路的主张是：题面给的 $3$ 是一个整体量，从头到尾别把它拆开。代价是要先算 $\tan A$，收获是第（Ⅰ）问连 $bc$ 都不用求。

① 半角的正切。 由平方关系

$$\sin\frac A2=\sqrt{1-\frac45}=\frac{\sqrt5}{5}, \qquad \tan\frac A2=\frac{\sqrt5/5}{2\sqrt5/5}=\frac12 .$$

② 倍角正切。 在两角和与差的正切公式里取 $\alpha=\beta=\dfrac A2$：

$$\tan A=\frac{2\tan\frac A2}{1-\tan^2\frac A2} =\frac{2\times\frac12}{1-\frac14}=\frac{1}{3/4}=\frac43 .$$

③ 第（Ⅰ）问：面积与数量积只差一个正切。

$$S=\frac12\,bc\sin A =\frac12\,\underbrace{(bc\cos A)}_{=\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\,=\,3}\cdot\tan A =\frac12\times3\times\frac43=2 .$$

面积 $=2$，而 $bc$ 一次都没算过。 这一步只是把 $\sin A$ 写成 $\cos A\tan A$，然后认出 $bc\cos A$ 就是题面那个 $3$。

④ 要 $bc$ 时，两个已知量平方相加就够了。 现在手上有两条式子

$$bc\cos A=3,\qquad bc\sin A=2S=4 ,$$

平方相加，$\cos^2A+\sin^2A=1$ 把角整个消掉：

$$(bc)^2=3^2+4^2=25 \quad\Longrightarrow\quad bc=5\qquad(bc>0).$$

一个 $3$–$4$–$5$。这里同样没有用到 $\cos A$、$\sin A$ 各自的值。

⑤ 第（Ⅱ）问：把边长写成向量差再平方。 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，两边取模平方：

$$a^2=\bigl|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\bigr|^2 =b^2+c^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =b^2+c^2-2\times3 .$$

这条式子就是余弦定理（把数量积展成 $bc\cos A$ 即得），只是写成向量形之后，题面给的 $3$ 可以原样搬进来，中途一次夹角都不必出现。再用一次 $b^2+c^2=(b+c)^2-2bc$：

$$a^2=36-2\times5-6=20,\qquad a=2\sqrt5 .$$

⑥ 复盘：这条路到底省了什么。 全程出现过的数只有 $\tan\dfrac A2=\dfrac12$、$\tan A=\dfrac43$、给定的 $3$、算出的 $bc=5$。$\cos A=\dfrac35$ 与 $\sin A=\dfrac45$ 这两个数一次都没写出来——不是不能写，是不需要。题目若把条件换成 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=k$，第（Ⅰ）问立刻是 $S=\dfrac k2\tan A$，第（Ⅱ）问立刻是 $a^2=(b+c)^2-2bc-2k$——公式的形状一个字都不用改，要跟着变的只有 $bc$（它由 $k$ 与角一起定）。

⑦ 边界。 ③ 那一步要求 $\cos A\neq0$。若 $A=\dfrac\pi2$，数量积为 $0$ 而面积不为 $0$，$\tan A$ 也不存在，这条路当场作废（那时改用 $S=\dfrac12bc$）。本题 $\cos\dfrac A2=\dfrac{2\sqrt5}{5}>\dfrac{\sqrt2}{2}$，故 $\dfrac A2<\dfrac\pi4$、$A<\dfrac\pi2$，安全。

解法三：偏要把三角形定死——第（Ⅱ）问解出 $\{b,c\}=\{1,5\}$，余弦定理正面代

前两条路都绕开了「$b$、$c$ 各是多少」。这一条反过来：先把三角形唯一确定下来，再正面算。官方解析第（Ⅱ）问走的正是它。

⓪ 先划清界线：这条路只属于第（Ⅱ）问。 $b+c=6$ 前面有一个「若」——它是第（Ⅱ）问的附加假设。第（Ⅰ）问手上只有 $\cos\dfrac A2$ 与那个数量积，由它们只能得到 $\cos A=\dfrac35$、$\sin A=\dfrac45$、$bc=5$，满足这三条的三角形是一整族（$b$ 取任意正数、$c=\dfrac5b$），根本定不死。第（Ⅰ）问之所以仍有唯一答案，是因为 $S=\dfrac12bc\sin A$ 只吃 $bc$——这句话就是那一问的考点，解法一 ④ 已经把它做完了。拿 $b=1$、$c=5$ 去答第（Ⅰ）问，数值会对，推理却越了界：那只证明了「$b+c=6$ 的那一个三角形面积是 $2$」。

① 沿用前面已经得到的三个数。 $\cos A=\dfrac35$、$\sin A=\dfrac45$、$bc=5$（解法一 ①–③，只用到第（Ⅰ）问的条件，可以放心带进第（Ⅱ）问）。

② 和与差反解两根。 $b+c=6$、$bc=5$，先求差：

$$|b-c|=\sqrt{(b+c)^2-4bc}=\sqrt{36-20}=4 ,$$

于是

$$\{b,c\}=\left\{\frac{6-4}{2},\ \frac{6+4}{2}\right\}=\{1,5\} .$$

（等价地：$b$、$c$ 是 $t^2-6t+5=0$ 的两根。判别式 $16>0$ 且是完全平方，所以这一步给的是两个正整数——运气好，不是必然。两根都为正才合法，这里 $b+c>0$、$bc>0$，自动满足。）

③ 余弦定理正面代。 取 $b=5,c=1$：

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=25+1-2\times5\times\frac35=26-6=20, \qquad a=2\sqrt5 .$$

④ 另一组要不要再算一遍？不要。 取 $b=1,c=5$ 时

$$a^2=1+25-2\times5\times\frac35=20 ,$$

一模一样。原因不是巧合：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 关于 $b$、$c$ 对称，把两个数对调，式子一个字都不变。

几何上看更直接：把 $b$ 与 $c$ 对调，等于把整个三角形沿 $\angle A$ 的平分线翻过去——得到的是一个与原来全等的三角形，边长、面积当然半点不差。教学图上栏那两个（深蓝实线的与灰色虚线的）就是这一对，它们的绿色对边一样长。

所以第（Ⅱ）问只有一个答案，不存在「两种情形」。要小心的是反过来的题：若问的是「求 $b$」或者「求 $\cos B$」，那两组解就真的给出两个不同的答案，必须都写上（$b=5$ 时 $\cos B=-\dfrac{\sqrt5}{5}$，$b=1$ 时 $\cos B=\dfrac{11\sqrt5}{25}$）。对称的是式子，不是题目。

⑤ 回头验一眼第（Ⅰ）问。 把解出来的 $b=1,c=5$ 代进面积公式——注意这里的 $A$ 必须是 $b$、$c$ 两条边的夹角，正是题设那个角：

$$\frac12\times1\times5\times\frac45=2 ,$$

与解法一 ④ 的答案对上 ✓。这是回验，不是第（Ⅰ）问的解答——理由见 ⓪。

⑥ 收支。 多解了一个二次方程，换来一个画得出来、量得出来的三角形：$A$ 处夹角的余弦是 $\dfrac35$，两边 $1$ 与 $5$，对边 $2\sqrt5$。当题目后面还要追问「求 $\cos B$」「求 $BC$ 边上的中线」这类与 $b$、$c$ 各自有关的量时，这一步迟早要做——那时解法一、解法二省下的力气就得还回去。