套路

面积化成数量积乘正切

S=12bcsin⁡A=12 (bccos⁡A)tan⁡A=12 (AB→⋅AC→)tan⁡AS=\frac12bc\sin A=\frac12\,(bc\cos A)\tan A=\frac12\,(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})\tan A——题面直接给了数量积时，面积只差一个正切，bb、cc 各是多少都不必知道。

解题套路

三角形的面积与顶点处两条边的数量积，差的正好是一个正切：

S=12 bcsin⁡A=12 (bccos⁡A)⋅sin⁡Acos⁡A=12 (AB→⋅AC→)tan⁡A(cos⁡A≠0).S=\frac12\,bc\sin A =\frac12\,(bc\cos A)\cdot\frac{\sin A}{\cos A} =\frac12\,\bigl(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\bigr)\tan A \qquad(\cos A\neq0).

于是题面给了 AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} 的值时，求面积只剩一件事：把 tan⁡A\tan A 算出来。bcbc 是多少、bb 与 cc 各是多少，一概不问。

反过来用也成立：知道面积与数量积，一步得 tan⁡A\tan A，于是得 AA。

为什么成立

只是把 sin⁡A\sin A 写成 cos⁡A⋅tan⁡A\cos A\cdot\tan A，再把 bccos⁡Abc\cos A 认成数量积的定义式 ∣AB→∣∣AC→∣cos⁡A|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos A。没有新知识，省掉的是「反解 bcbc」这一步除法。

什么时候想到它

  • 条件里出现 AB→⋅AC→=k\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=k 而问的是面积（或反过来）；
  • 手上是半角的三角函数值——由 tan⁡A2\tan\frac A2 到 tan⁡A\tan A 只要一次倍角正切，比先求 cos⁡A\cos A、再除出 bcbc、再乘 sin⁡A\sin A 短。

边界

  • cos⁡A=0\cos A=0 时整条路作废：那时数量积为 00，面积却不是 00。A=π2A=\dfrac\pi2 要单独用 S=12bcS=\frac12bc。
  • 数量积的两个向量必须同起点于那个顶点：写成 BA→⋅AC→\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC} 夹角就成了 π−A\pi-A，数量积变号，tan⁡\tan 那一侧却没跟着变。
  • 它给的是面积，不给 bb、cc。后续若要用到边长，还得另外解一次。

学它之前先会

共 4 条前置、最深 3 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。