套路

边长写成向量差再平方

把一条边的长写成两个同起点向量之差的模，平方展开成 ∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2 u⃗⋅v⃗|\vec u|^2+|\vec v|^2-2\,\vec u\cdot\vec v——题目给了数量积就原样代进去，中途一次夹角都不必出现。

解题套路

  1. 把边写成向量差。 △ABC\triangle ABC 里，BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}，于是 a=∣AC→−AB→∣a=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}|。起点统一取在这条边所对的那个顶点上。
  2. 平方，别开方。 模不好算，模的平方好算：
a2=∣AC→−AB→∣2=∣AC→∣2+∣AB→∣2−2 AB→⋅AC→=b2+c2−2 AB→⋅AC→.a^{2}=\bigl|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\bigr|^{2} =\bigl|\overrightarrow{AC}\bigr|^{2}+\bigl|\overrightarrow{AB}\bigr|^{2} -2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =b^{2}+c^{2}-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} .
  1. 数量积原样代。 题面给了 AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} 的值就直接搬进去；给的是两条边与夹角，就展开成 bccos⁡Abc\cos A——那就回到了余弦定理。

为什么成立

只用了数量积的两条性质：∣u⃗∣2=u⃗⋅u⃗|\vec u|^{2}=\vec u\cdot\vec u 与分配律。

(v⃗−u⃗)⋅(v⃗−u⃗)=v⃗⋅v⃗−2 u⃗⋅v⃗+u⃗⋅u⃗.(\vec v-\vec u)\cdot(\vec v-\vec u)=\vec v\cdot\vec v-2\,\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec u .

把 u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v 展成 ∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ|\vec u||\vec v|\cos\theta，这条恒等式就是余弦定理——所以它不是「另一个公式」，是同一个公式的向量写法。用向量写法的好处只有一个，但很实在：已知量是数量积时，中间不必先反解出夹角。

什么时候想到它

  • 题面给的是 AB→⋅AC→=k\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=k 这类数量积的值，而要求的是某条边长；
  • 要算的长度落在一个有公共起点的向量图里（三角形、平行四边形的对角线、空间四面体的棱）；
  • 手上是基底与坐标，而不是边与角——那时展开成数量积比找角省事。

边界

  • 别忘了平方回来要开方，且长度取正根。
  • 三个量里只要缺一个就代不进去：式子吃 ∣u⃗∣2+∣v⃗∣2|\vec u|^{2}+|\vec v|^{2} 与 u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v 三样。常见的配法是先用 (∣u⃗∣+∣v⃗∣)2−2∣u⃗∣∣v⃗∣(|\vec u|+|\vec v|)^{2}-2|\vec u||\vec v| 把前两项凑出来。
  • 方向要对：BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}，减反了得到的是 CB→\overrightarrow{CB}；模一样，但若后面还要用这个向量的方向（比如再和别的向量作数量积），符号会整体翻过来。

学它之前先会

共 2 条前置、最深 2 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。