套路

和与差反解两根

一元二次方程的两根，和由韦达给出、差的绝对值等于 Δ∣a∣\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}；知道和与差就等于知道两根，x1,2=(和)∓(差)2x_{1,2}=\frac{(\text{和})\mp(\text{差})}{2}——不必套求根公式，也不必把根解出来再代。

解题套路

设 ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0（a≠0a\neq0）有两个实根 x1<x2x_{1}<x_{2}，则

x1+x2=−ba,x2−x1=b2−4ac∣a∣,x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}, \qquad x_{2}-x_{1}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{|a|} ,

于是

x1=(x1+x2)−(x2−x1)2,x2=(x1+x2)+(x2−x1)2.x_{1}=\frac{(x_{1}+x_{2})-(x_{2}-x_{1})}{2}, \qquad x_{2}=\frac{(x_{1}+x_{2})+(x_{2}-x_{1})}{2} .

这两条比求根公式好用的地方：和与差往往各自能被题目条件单独定住 （和由一个线性条件给，差由判别式给），于是「两个根分别是多少」就成了填空， 不必带着 ±\pm 号走完全程。

典型用法：条件里出现的是两根的不对称组合

题目常给 2x1+x2=k2x_{1}+x_{2}=k、x2=3x1x_{2}=3x_{1} 这类不对称的条件，韦达的和与积不能直接用。 这时把它拆成「对称部分 + 差」：

2x1+x2=(x1+x2)+x1=3(x1+x2)−(x2−x1)2,2x_{1}+x_{2}=(x_{1}+x_{2})+x_{1} =\frac{3(x_{1}+x_{2})-(x_{2}-x_{1})}{2} ,

右边两项都是已知量，条件立刻变成一个关于参数的方程。

自检

  • 差是非负的。把 x2−x1=Δ/∣a∣x_{2}-x_{1}=\sqrt{\Delta}/|a| 代进条件后，若整理出 Δ=(某个含参式)\sqrt{\Delta}=(\text{某个含参式})，先判右边的正负再平方，否则会多出增根。
  • 用之前先确认 Δ>0\Delta>0（两根相异）；Δ=0\Delta=0 时差为零，很多条件会退化。
  • 记清楚谁大谁小：写成 x1<x2x_{1}<x_{2} 后，差就是 x2−x1x_{2}-x_{1}，别把符号写反。

出现在以下题目中

共 3 道题考到本条。