浙江 2010 · 数学 q22

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2010 · 数学 q22 原卷截图（含答案）

文字转写（题面）

题面

(22) (本题满分 14 分) 已知 a 是给定的实常数,

设函数 f(x)=(x−a)2(x+b)ex,b∈R,x=af(x) = (x - a)^2 (x + b)e^x, b \in R, x = a 是 f(x)f(x) 的一个极大值点.

(I) 求 b 的取值范围;

（II）设 x1,x2,x3x_{1}, x_{2}, x_{3} 是 f(x)f(x) 的3个极值点，问是否存在实数 bb，可找到 x4∈Rx_{4} \in R，使得 x1,x2,x3,x4x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} 的某种排列 xi,xi2,xi3,xi4x_{i}, x_{i2}, x_{i3}, x_{i4}（其中 {i1,i2,i3,i4}={1,2,3,4}\{i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}\} = \{1, 2, 3, 4\}）依次成等差数列？若存在，示所有的 bb 及相应的 x4x_{4}；若不存在，说明理由.

(I)求b的取值范围;

(II) 设 x1,x2,x3x_{1}, x_{2}, x_{3} 是 f(x)f(x) 的 3 个极值点，问是否存在实数 bb，可找到 x4∈Rx_{4} \in R，使得 x1,x2,x3,x4x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} 的某种排列 xi1,xi2,xi3,xi4x_{i_{1}}, x_{i_{2}}, x_{i_{3}}, x_{i_{4}} (其中 {i1,i2,i3,i4}={1,2,3,4}\{i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}\} = \{1, 2, 3, 4\}) 依次成等差数列？若存在，求所有的 bb 及相应的 x4x_{4}；若不存在，说明理由。

(22) 本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列基础知识, 同时考查推理论证能力, 分类讨论等综合解题能力和创新意识, 满分 14 分。

（I）解： f′(x)=c2(x−a)[x2+(3−a+b)x+2b−ab−a]f'(x) = c^{2}(x - a)[x^{2} + (3 - a + b)x + 2b - ab - a]

令 g(x)=x2+(3−a+b)x+2b−ab−ag(x) = x^{2} + (3 - a + b)x + 2b - ab - a

则 Δ=(3−a+b)2−4(2b−ab−a)=(a+b−1)2+8>0.\Delta = (3 - a + b)^2 - 4(2b - ab - a) = (a + b - 1)^2 + 8 > 0.

于是可设 x1,x2x_{1}, x_{2} 是 g(x)=0g(x) = 0 的两实根，且 x1,x2x_{1}, x_{2}

(1) 当 x1=ax_{1} = a 或 x2=ax_{2} = a 时, 则 x=ax = a 不是 f(x)f(x) 的极值点, 此时不合题意

(2) 当 x1≠ax_{1} \neq a 且 x2≠ax_{2} \neq a 时, 由于 x=ax = a 是 f(x)f(x) 的极大值点,

故 x1<a<x2x_{1} < a < x_{2}. 即 g(a)<0g(a) < 0

即 a2+(3−a+b)a+2b−ab−a<0a^2 + (3 - a + b)a + 2b - ab - a < 0

所以 b<−ab < -a

所以 b 的取值范围是 (−∞,−a)(-\infty, -a)

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了 bb 及 xbx_{b} 满足题意，则

(1) 当 x2−a=a−x1x_{2}-a=a-x_{1} 时，则 x4=2x2−ax_{4}=2x_{2}-a 或 x4=2x1−ax_{4}=2x_{1}-a

于是 2−=x1+x2=a−b−3.2 - = x_{1} + x2 = a - b - 3.

即 b = -a - 3.

此时 x4=2x2−a=a−b−3+(a+b−1)2+8−a=a+26x_{4} = 2x_{2} - a = a - b - 3 + \sqrt{(a + b - 1)^{2} + 8} - a = a + 2\sqrt{6}

或 x4=2x1−a=a−b−3−(a+b−1)2+8−a=a−26.x_{4} = 2x_{1} - a = a - b - 3 - \sqrt{(a + b - 1)^{2} + 8} - a = a - 2\sqrt{6}.

(2) 当 x2−a≠a−x1x_{2}-a \neq a - x_{1} 时，则 x2−a=2(a−x1)x_{2}-a = 2(a - x_{1}) 或 (a−x2)=2(x2−a)(a - x_{2}) = 2(x_{2} - a)

①若 x2−a=2(a−x1)x_{2} - a = 2(a - x_{1}) ，则 x2=a+x22x_{2} = \frac{a + x_{2}}{2}

于是 3a=2x1+x2=3(a−b−3)−(a+b−1)2+823a = 2x_{1} + x_{2} = \frac{3(a - b - 3) - \sqrt{(a + b - 1)^{2} + 8}}{2}

即 (a+b−1)2+8=−3(a+b+3)\sqrt{(a + b - 1)^2 + 8} = -3(a + b + 3)

于是 a+b−1=−9−132a + b - 1 = \frac{-9 - \sqrt{13}}{2}

此时 x2=a+x22=2a+(a−b−3)−3(a+b+3)4=−b−3=a+1+132x_{2} = \frac{a + x_{2}}{2} = \frac{2a + (a - b - 3) - 3(a + b + 3)}{4} = -b - 3 = a + \frac{1 + \sqrt{13}}{2}

②若 a−x1=2(x2+a)a - x_{1} = 2(x_{2} + a), 则 x2=a+x12\mathrm{x}_{2} = \frac{a + x_{1}}{2}

于是 3a=2x2+x1=3(a−b−3)+(a−b−1)2+823a = 2x_{2} + x_{1} = \frac{3(a - b - 3) + \sqrt{(a - b - 1)^{2} + 8}}{2}

即 (a−b−1)2+8=3(a+b+3)\sqrt{(a - b - 1)^2 + 8} = 3(a + b + 3)

于是 a+b−1=−9+132a + b - 1 = \frac{-9 + \sqrt{13}}{2}

此时 x2=a+x12=2a+(a−b−3)−3(a+b+3)4=−b−3=a+1−132x_{2} = \frac{a + x_{1}}{2} = \frac{2a + (a - b - 3) - 3(a + b + 3)}{4} = -b - 3 = a + \frac{1 - \sqrt{13}}{2}.

综上所述，存在 bb 满足题意

当 b=−a−3b = -a - 3 时, x4=a±26x_{4} = a \pm 2\sqrt{6}

当 b=−a−7+132b=-a-\frac{7+\sqrt{13}}{2} 时, x4=a+1+132x_{4}=a+\frac{1+\sqrt{13}}{2}

当 b=−a−7−132b=-a-\frac{7-\sqrt{13}}{2} 时, a4=a+1−132a_{4}=a+\frac{1-\sqrt{13}}{2} .

2010 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学理点评

今年的高考数学试题“题目新，难度大，综合程度强，能力要求高”。总体上还是比较稳定，试题严格遵循浙江省普通高考考试说明，立意新，起步低，情景朴实，选题源于教材而又高于教材，宽角度、高视点、多层次考查了数学理性思维。

总体稳定：体现了多题把关的命题特点

今年的数学试卷仍然采用前几年的一贯风格，设计为主观试题 78 分、客观试题 72 分的题型和分值结构，保持了题量、题型和分值的相对稳定。

试卷以基础知识、基本方法为命题出发点，全面覆盖了数学的基本内容，重点内容常考常新。很多题目都从简洁中体现常规，突出考查通性通法，淡化技巧。试题，继续保持多年来多角度、多层次的考察方式，沿续往年的分布设问，分散难点的方法，体现了多题把关的命题特点，选择题、填空题、解答题都有把关题。

体现创新：注重强调学生的数学理解能力

今年的数学试卷中还出现了很多新题，注重强调学生的数学理解能力，提高对数学阅读能力的要求。今年的数学试卷，恰当地考查了学生的应用能力。第19题概率统计题由往年的摸球，简单的概率模型变化为今年的实际问题，而且情景具有公平性，这类问题考察学生对所提供的信息资料进行归纳、整理和分析，将实际问题抽象为数学问题，并能用数学语言正确地表述，建立数学模型，应用相关的数学方法解决问题。

凸显能力：融入了新课程、新大纲理念

今年的数学试卷，很多题目融入了新课程、新大纲的理念，选材寓于教材又高于教材。每道题都是新题，可谓题型出新，道道经典。解答题入手容易，但要深入则比较难。

挑战心态：考的还是一个战术技巧

今年的数学试卷在题型、题量、结构、内容分布、重点知识略有提高的基础上，在试题的选材、情景、设问、编排等方面作了很大改进，尤其是在深化能力立意、突出数学内涵方面更是迈出了新的步伐。试卷对学生面对新题及困难时的心态调整和战胜困难的数学素养，

考生答题时有两点很重要，一个是策略问题，一个是技巧问题。考试如同打仗一样，在战略上要藐视敌人，在战术上又要重视敌人。在策略上，学生要树立信心。技巧方面，就是答题要先易后难。今年的考题，难点比较分散，在选择填空部分，考生可能就遇到了不少难点，卡壳几次，心态就会比较差，因此对考生的心理素质是个巨大的考验。比如选择题第4，9，10，填空题第15，16，17，解答题第20，22的第2小题都是难点，答题时，要先解决相对容易的题目，再集中精力突破难点，考试时间相对紧张，因此合理分配答题时间很重要。

以及意志品质等非智力因素提出了新的要求，也为今后数学的教与学提出了新的挑战。