向量夹角当成三角形内角

错在哪

向量的夹角是把两条向量的起点挪到同一点之后量出来的角，与它们画在图上的位置无关。 而三角形的内角量的是「从这个顶点出发的两条边」之间的角——两条边都从顶点出发。

把 $\overrightarrow{OA}=\alpha$、$\overrightarrow{OB}=\beta$ 摆成一个三角形，第三条边是

它是从 $A$ 出发的；可 $\alpha=\overrightarrow{OA}$ 是指向 $A$ 的。两条一个进一个出， 要量它们的夹角得先把 $\alpha$ 平移到以 $A$ 为起点——平移过去之后它指向 $A$ 的外侧， 于是

题面给 $120^\circ$，三角形里那个角就是 $60^\circ$；反过来，若三角形里是 $120^\circ$， 向量的夹角才是 $60^\circ$。差的不是一点点：$\sin$ 相同，$\cos$ 差一个负号。

为什么它藏得住

和邻补角那个坑一样，正弦定理只用到正弦，而 $\sin 120^\circ=\sin 60^\circ$—— 只用正弦定理算边，两种读法给出同一个数，错误一路潜伏； 等到用内角和裁另外两个角的范围、或者用余弦定理时才爆：

• 内角和：内角当成 $120^\circ$，剩下两角之和只有 $60^\circ$，范围裁窄了一半；
• 余弦定理：$\cos 120^\circ=-\frac12$ 与 $\cos 60^\circ=\frac12$ 正负相反， $|\beta|^2=|\alpha|^2+|\beta-\alpha|^2\pm|\alpha||\beta-\alpha|$ 直接写反一个符号；
• 外接圆：$2R=\dfrac{|OB|}{\sin\angle OAB}$ 里正弦相同，半径倒是对的—— 可「$A$ 在优弧还是劣弧上」跟着反了，端点能不能取到就判错了。

三条挡住它的动作

1. 先把三条向量的箭头方向画出来：两条从同一点出发（$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$）， 第三条 $\overrightarrow{AB}$ 首尾相接。哪两条共起点，一眼就看得出。
2. 要量夹角就当场平移：在 $A$ 处补一条与 $\alpha$ 同向的虚线射线，把题给的角标在它与 $AB$ 之间； 三角形的内角标在另一侧。图上两个角分开画，就不会混。
3. 写角一律带三个字母：$\angle OAB$ 不许写成「$A$ 处那个角」，更不许和「$\alpha$ 与 $\beta-\alpha$ 的夹角」共用一个记号。