易错点

互余角的诱导公式用错

α+β=π2\alpha+\beta=\frac{\pi}{2} 时 sin⁡β=cos⁡α\sin\beta=\cos\alpha（**换名**），不是 sin⁡β=sin⁡α\sin\beta=\sin\alpha。

题面给「两角互余」，几乎总是要你把两个未知角并成一个。并的时候必须换函数名：

β=π2−α ⟹ sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha\ \Longrightarrow\ \sin\beta=\cos\alpha,\qquad \cos\beta=\sin\alpha,\qquad \tan\beta=\frac{1}{\tan\alpha}

为什么容易错

诱导公式一共六组，前四组（2kπ+α2k\pi+\alpha、π±α\pi\pm\alpha、−α-\alpha）只改符号、不换名，用惯了就形成「诱导公式 = 加个负号」的习惯。而公式五、六跨过了 π2\dfrac{\pi}{2}，是要换名的——口诀「奇变偶不变」里的「奇」说的正是 π2\dfrac{\pi}{2} 的奇数倍。

一个十秒自查

代一个具体角。 取 α=π6\alpha=\dfrac{\pi}{6}、β=π3\beta=\dfrac{\pi}{3}：

  • sin⁡β=sin⁡π3=32\sin\beta=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}，而 cos⁡α=cos⁡π6=32\cos\alpha=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2} ✓ 对上；
  • 若写成 sin⁡β=sin⁡α\sin\beta=\sin\alpha，右边是 12≠32\dfrac12\neq\dfrac{\sqrt3}{2} ✗ 当场穿帮。

凡是拿不准换不换名，代一组 30∘/60∘30^\circ/60^\circ 试一下，比回忆口诀快也可靠。

顺带一提：换完名之后要一致

把 sin⁡β\sin\beta 换成 cos⁡α\cos\alpha 之后，整道题就只剩 α\alpha 一个未知角了。若中途又冒出 β\beta（如最后要求 cos⁡2β\cos2\beta），记得再用一次同一条公式换回去，别让两个角混着出现。

学它之前先会

共 4 条前置、最深 3 层。

出现在以下题目中

共 1 道题考到本条。