三角等式求值

题型说明

• 常见问法：「若 $3\sin\alpha-\sin\beta=\sqrt{10}$，$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$，则 $\sin\alpha=$ ____，$\cos2\beta=$ ____。」
• 多为填空题。它考的是化归：两个角、两个函数名，先想办法压成一个角、一个函数名，剩下的就是解方程。
• 关键动作三步：
  1. 用角的关系并角——互余用诱导公式（$\sin\beta=\cos\alpha$）、互补用 $\sin\beta=\sin\alpha$、和为定值用两角和差展开；
  2. 把 $a\sin\alpha+b\cos\alpha$ 合一（辅助角公式），或者设 $\sin\alpha,\cos\alpha$ 为未知数联立 $\sin^2+\cos^2=1$；
  3. 求出所要的量；第二空往往能用第一空的结果直接算，别从头再来。

一个高频的设计

等式右端恰好等于左端的振幅 $\sqrt{a^2+b^2}$。这不是巧合——它把「解方程」变成了「取到最大值」，于是角被唯一确定，答案干净。看到右端是 $\sqrt{a^2+b^2}$（本题 $\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ 正是右端那个数），就该意识到这一点。

常见陷阱

• 互余没换名：$\sin\beta$ 写成 $\sin\alpha$ 而不是 $\cos\alpha$。
• 辅助角的 $\varphi$ 定错象限：只用 $\tan\varphi$ 定不了。
• 第二空重起炉灶：$\cos2\beta$ 可以直接由 $\sin\alpha$ 推（$\cos\beta=\sin\alpha$ ⟹ $\cos2\beta=2\sin^2\alpha-1$），不必再解一次角。
• 忘了验解：合一之后若得 $\sin(\alpha-\varphi)=1$，解是唯一的；若得到的是一般值，则有两族解，要用题目其余条件筛。