公式

辅助角公式

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2⋅sin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)，其中 cos⁡φ=a/a2+b2\cos \varphi = a/\sqrt{a^2+b^2}、sin⁡φ=b/a2+b2\sin \varphi = b/\sqrt{a^2+b^2}；于是它的值域是 [−a2+b2,a2+b2][-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]。

公式

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2 sin⁡(x+φ),cos⁡φ=aa2+b2,  sin⁡φ=ba2+b2a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi), \qquad \cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \ \sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

怎么来的（不必背，两行能推）

把系数提出来，让括号里的两个数成为某个角的余弦与正弦：

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2(aa2+b2sin⁡x+ba2+b2cos⁡x)a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)

括号里两个系数的平方和恰好是 11，所以一定存在一个角 φ\varphi 使前者为 cos⁡φ\cos\varphi、后者为 sin⁡φ\sin\varphi。于是括号 =sin⁡xcos⁡φ+cos⁡xsin⁡φ=sin⁡(x+φ)=\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi=\sin(x+\varphi)（两角和的正弦）。

它最有用的一条推论

−a2+b2 ≤ asin⁡x+bcos⁡x ≤ a2+b2-\sqrt{a^2+b^2}\ \le\ a\sin x+b\cos x\ \le\ \sqrt{a^2+b^2}

当题面给的等式右端恰好等于 a2+b2\sqrt{a^2+b^2} 时，说明这个式子被顶到了最大值，于是 sin⁡(x+φ)=1\sin(x+\varphi)=1，xx 被唯一确定（模 2π2\pi）——这类题往往就是这么设计的。

常见失手

  • φ\varphi 的正弦余弦对调：cos⁡φ\cos\varphi 配的是 sin⁡x\sin x 前面的系数 aa，sin⁡φ\sin\varphi 配的是 cos⁡x\cos x 前面的 bb。对调之后合出来的是 cos⁡(x−φ)\cos(x-\varphi)，不是 sin⁡(x+φ)\sin(x+\varphi)。
  • 只由 tan⁡φ=ba\tan\varphi=\dfrac ba 定 φ\varphi：正切定不了象限，得由 cos⁡φ\cos\varphi、sin⁡φ\sin\varphi 的符号一起定。
  • 振幅忘了开方：是 a2+b2\sqrt{a^2+b^2}，不是 a2+b2a^2+b^2。

学它之前先会

共 4 条前置、最深 3 层。

出现在以下题目中

共 13 道题考到本条。