浙江 2014 · 数学 q04

冷启动：四个选项只在两件事上分家

题面摆出两条曲线，问由前者怎么平移得到后者：

$$\text{起点}:\ y=\sqrt{2}\cos 3x \qquad\longrightarrow\qquad \text{目标}:\ y=\sin 3x+\cos 3x .$$

四个选项是 $\{\text{向左},\text{向右}\}\times\{\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{12}\}$ 的四种组合， 所以只要定两件事：方向与大小。这类三角函数图象的平移题永远考这两件事， 而两件事各有一个固定的机关：

• 大小的机关：平移量作用在自变量 $x$ 上，不作用在相位上。 两条曲线的相位差是 $\Delta$ 时，$x$ 的位移是 $\Delta/\omega$。本题 $\omega=3$， 而 $\frac{\pi}{4}$ 与 $\frac{\pi}{12}$ 之间差的正好是这个 $3$——选项已经把这次除法做成了陷阱。
• 方向的机关：右移 $t$ 个单位就是把 $x$ 换成 $x-t$（左加右减）。式子里看见 $x-t$，图象是往右走。

但这道题在动手之前还多一道关：两条曲线连名字都不一样。 起点是一条纯余弦， 目标是 $\sin$ 与 $\cos$ 的和——相位无从谈起，减都减不出来。 所以第一步必须先把它们合成同一个名字，之后才轮到上面那两个机关。 这一步是 2014 这道题比一般平移题多出来的地方，也是它埋下选项 D 的地方。

解法一：合成余弦，提 ω 到括号外一步读出位移

第一步：把目标合成一个余弦

$\sin 3x+\cos 3x$ 的两个系数都是 $1$，合一变形提出来的振幅是 $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$。 往哪个名字上合？往起点那个名字上合——起点是余弦，那就合成余弦：

$$\sqrt{2}\cos\!\Big(3x-\frac{\pi}{4}\Big) =\sqrt{2}\Big(\cos 3x\cos\frac{\pi}{4}+\sin 3x\sin\frac{\pi}{4}\Big) =\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\,(\cos 3x+\sin 3x) =\sin 3x+\cos 3x .$$

于是

$$\text{目标}:\quad y=\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}\cos\!\Big(3x-\frac{\pi}{4}\Big) .$$

现在两条曲线是同一个名字、同一个振幅 $\sqrt{2}$、同一个 $\omega=3$，只差括号里那个 $-\frac{\pi}{4}$。 这个 $\frac{\pi}{4}$ 就是相位差——注意它还不是答案。

第二步：把 $\omega$ 提到括号外

相位差要变成 $x$ 的位移，只有一个办法：把 $\omega$ 提出来，让括号里只剩 $x$ 和一个纯粹的常数。

$$\sqrt{2}\cos\!\Big(3x-\frac{\pi}{4}\Big) =\sqrt{2}\cos\!\Big[3\Big(x-\frac{\pi}{4}\div 3\Big)\Big] =\sqrt{2}\cos\!\Big[3\Big(x-\frac{\pi}{12}\Big)\Big] .$$

$\frac{\pi}{4}\div 3=\frac{\pi}{12}$。这一次除法就是全题的机关： 括号外面那个 $3$ 把相位的刻度压缩了 $3$ 倍，所以相位挪 $\frac{\pi}{4}$，图象只挪 $\frac{\pi}{12}$。

第三步：读方向

把起点记成一个函数：$f(x)=\sqrt{2}\cos 3x$。上一步的结论就是

$$\text{目标}(x)=\sqrt{2}\cos\!\Big[3\Big(x-\frac{\pi}{12}\Big)\Big]=f\!\Big(x-\frac{\pi}{12}\Big) .$$

$x$ 被换成了 $x-\frac{\pi}{12}$，按左加右减，图象向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位。

$$\boxed{\text{选 C}}$$

解法二：跟着一个最高点走，不比相位、不用方向规则

平移把整条曲线整体搬走，所以曲线上任何一个认得出来的点，挪的距离都和整条曲线一样。 挑一个最好认的点，量它挪了多少，就够了。合一那一步还是要做（不合一认不出目标的最高点）， 但从此往后两条路就分家了：这条路不去比两个相位、也不用「$x\mapsto x-t$ 是左还是右」那条规则， 只量一个点从哪儿挪到了哪儿。

第一步：先确认这真是一次纯平移

两条曲线的振幅都是 $\sqrt{2}$（目标那条由 $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ 得到）， $\omega$ 都是 $3$。振幅与 $\omega$ 都相同，形状就完全一样，两条曲线之间只可能差一次左右平移。 这一句不是废话：振幅或 $\omega$ 只要有一个不同，四个选项就全都是错的，题目也就不会这么问。

第二步：两条曲线各挑最高点

用同一个标准挑：取每条曲线在 $0$ 附近的那个最高点。

• 起点 $y=\sqrt{2}\cos 3x$：余弦在自变量为 $0$ 时最大，所以 $3x=0$，得 $x=0$。
• 目标 $y=\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}\sin\!\big(3x+\frac{\pi}{4}\big)$：正弦在自变量为 $\frac{\pi}{2}$ 时最大，所以

$$3x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad 3x=\frac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{12} .$$

注意最后那一步的除以 $3$——这条路上「除以 $\omega$」是解方程时自动完成的， 不需要另外记一条规则，也就漏不掉。

第三步：量一量

最高点从 $x=0$ 搬到了 $x=\frac{\pi}{12}$，往右走了 $\frac{\pi}{12}$。整条曲线也就向右平移 $\frac{\pi}{12}$。

$$\boxed{\text{选 C}}$$

这条路最大的好处是根本不碰方向规则：点往右跑，就是向右平移， 「$x$ 换成 $x-t$ 到底是左还是右」这个容易背反的问题被绕开了。 代价是要会解那两个「最高点方程」，而且两条曲线必须用同一种特征点 （都用最高点，或都用上升零点；一条用最高点、另一条用零点就会差出四分之一个周期）。

四个选项各对应一种错法

A 与 B 是「忘了除以 $\omega$」，D 是「合一时选错了名字」。 后者是这道题独有的坑，值得单看一眼。

合成正弦也可以，但起点也得跟着改写

标准答案走的正是正弦那条路。它把两条曲线都写成了正弦：

$$\text{目标}=\sqrt{2}\sin\!\Big(3x+\frac{\pi}{4}\Big)=\sqrt{2}\sin\!\Big[3\Big(x+\frac{\pi}{12}\Big)\Big] ,$$ $$\text{起点}=\sqrt{2}\cos 3x=\sqrt{2}\sin\!\Big(3x+\frac{\pi}{2}\Big)=\sqrt{2}\sin\!\Big[3\Big(x+\frac{\pi}{6}\Big)\Big] .$$

由 $3\big(x+\frac{\pi}{6}\big)\rightarrow 3\big(x+\frac{\pi}{12}\big)$，即括号里的 $x+\frac{\pi}{6}$ 变成 $x+\frac{\pi}{12}$， 也就是 $x\rightarrow x-\frac{\pi}{12}$：向右平移 $\frac{\pi}{12}$。同一个答案。

这条路多出来的那一行就是它的坑。 起点是余弦，它换成正弦时自带 $\frac{\pi}{2}$ 的相位 （提到括号外是 $\frac{\pi}{6}$）。如果只把目标改写成正弦、却把起点当成 $\sqrt{2}\sin 3x$， 就会算出「$x$ 换成 $x+\frac{\pi}{12}$、向左平移 $\frac{\pi}{12}$」——正好是选项 D。

所以合一变形的方向选择不是审美问题，是省一步、少一坑的问题：往起点已有的那个名字上合。 起点是余弦就合成余弦（解法一，$\frac{\pi}{4}$ 一次除法就完）， 起点是正弦才合成正弦。

两条路怎么选

考场上两条都很快，推荐解法二：它把「除以 $\omega$」和「方向」这两个最容易背反的地方 全部化成了「解一个方程、看点往哪边跑」。解法一的价值在于它顺手把目标化成了标准形 $\sqrt{2}\cos\big[3\big(x-\frac{\pi}{12}\big)\big]$——一旦题目接着问单调区间、对称轴或最值， 这个形式是躲不开的。

一句话带走

平移题只有两个数要定：往哪边、挪多少；而「挪多少」永远是相位差除以 $\omega$。 本题还多一道前置关：两条曲线的名字不同，得先合成同一个名字才谈得上相位差—— 而且要往起点已有的那个名字上合，否则起点自己也得改写一遍，多出来的那一步正是选项 D 的产地。