图象平移的左加右减

教材原文

这个规律反映在图象上就是：如果 $F(x, y)$ 是函数 $y = \sin x$ 图象上的一点，那么 $G\left(x - \frac{\pi}{6}, y\right)$ 就是函数 $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ 图象上的点，如图5.6-4所示。这说明，把正弦曲线 $y = \sin x$ 上的所有点向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，就得到 $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ 的图象。

一般地，当动点 $M$ 的起点位置 $Q$ 所对应的角为 $\varphi$ 时，对应的函数是 $y = \sin (x + \varphi)$ $(\varphi \neq 0)$，把正弦曲线上的所有点向左（当 $\varphi > 0$ 时）或向右（当 $\varphi < 0$ 时）平移 $|\varphi|$ 个单位长度，就得到函数 $y = \sin (x + \varphi)$ 的图象.

规则

为什么右移反而是减。 平移后的图象在横坐标 $x$ 处的高度，应当等于原图象在 $x-t$ 处的高度——原来长在 $x-t$ 的那一段，被搬到了 $x$。所以新函数是 $f(x-t)$。看着别扭，但它只是「把点搬过去」这句话的代数写法。

关键：加减的对象是 $x$，不是相位

对 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 这类里面还有系数 $\omega$ 的函数，平移 $t$ 之后是

——相位少的是 $\omega t$，不是 $t$。于是反过来：相位差了 $\Delta$，图象要平移 $\dfrac{|\Delta|}{\omega}$ 个单位，而不是 $|\Delta|$ 个。

操作上只有一条：先把 $\omega$ 提到括号外，写成 $\sin\big(\omega(x+\tfrac{\varphi}{\omega})\big)$，再看括号里 $x$ 后面跟的那个数——那才是平移量。

与伸缩的先后

教材 §5.6.2 例 1 画 $y=2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 时是先平移后伸缩：先由 $\sin x$ 右移 $\dfrac{\pi}{6}$ 得 $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$，再横坐标压成 $\dfrac13$。若换成先伸缩后平移，平移量就要改成 $\dfrac{\pi}{6}\div 3=\dfrac{\pi}{18}$——同一条曲线、两种顺序，平移量不同，说明顺序不能记混。