浙江 2012 · 数学 q04

冷启动：三步变换，每一步都有一个方向要认准

题面把 $y=\cos 2x+1$ 的图象连做三件事：

1. 所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变）；
2. 向左平移 $1$ 个单位长度；
3. 再向下平移 $1$ 个单位长度。

问得到的是哪一张图。

先交代一句卷面的事：这道题的四个选项是四张图，本站收录的这份转写里没能把它们保留下来。所以下面不逐个比对选项，而是把三步算到底——算出来的那条曲线，就是正确选项画的那一条。官方答案是 A。

三步里，每一步都有一个「方向」要认准，而它们都容易反着记：

• 「横坐标伸长到 $2$ 倍」对图是变宽，对解析式却是把 $x$ 换成 $\dfrac{x}{2}$。 图上每个点的横坐标乘 $2$，等价于在式子里把 $x$ 缩小一半——图变宽，式子里的 $x$ 变小，方向永远相反。
• 「向左平移 $1$ 个单位」是把 $x$ 换成 $x+1$，不是把某个常数加 $1$，更不是把相位加 $1$。
• 「向下平移 $1$ 个单位」是整个式子减 $1$，它只挪中心线，动不了振幅、动不了周期，也动不了最大值与最小值的差。

三条路的分工：解法一按题面顺序老实推式子，解法二只盯着两个点走，解法三把三步逆着做一遍当验算。

解法一：按题面顺序一步写一个解析式

怎么想到的。 题面本来就写成了三步，那就一步写一个式子，别合并、别跳。

起点。

$$y=\cos 2x+1 .$$

第一步，横坐标伸长到 $2$ 倍。 把 $x$ 换成 $\dfrac{x}{2}$：

$$y=\cos\!\left(2\cdot\frac{x}{2}\right)+1=\cos x+1 .$$

（周期从 $\pi$ 变成 $2\pi$——图确实变宽了，方向对得上。）

第二步，向左平移 $1$ 个单位。 把 $x$ 换成 $x+1$：

$$y=\cos(x+1)+1 .$$

第三步，向下平移 $1$ 个单位。 整个式子减 $1$：

$$\boxed{\,y=\cos(x+1)\,}$$

这条曲线长什么样（拿去认图的四条特征）：振幅 $1$、中心线 $y=0$、周期 $2\pi$；最大值 $1$ 在 $x=-1$ 处取到，最小值 $-1$ 在 $x=\pi-1$ 处取到。说到底就是 $y=\cos x$ 整体向左挪了 $1$ 个单位。

避坑：先伸缩再平移时，平移量不打折。 本题的顺序是先伸缩、后平移，所以「左移 $1$」在式子里就是老老实实的 $x\to x+1$，$1$ 就是 $1$。

把顺序做反才会出事。若先向左平移 $1$：

$$y=\cos 2(x+1)+1=\cos(2x+2)+1 ,$$

再把横坐标伸长到 $2$ 倍（$x\to\frac{x}{2}$）得 $y=\cos(x+2)+1$，下移 $1$ 得 $y=\cos(x+2)$——整条曲线比正确答案又多挪了 $1$ 个单位。同一批动作、换个次序，落点就不同；这也正是「$\varphi$ 要不要除以 $\omega$」那条老规矩的来处：$\cos(\omega x+\varphi)$ 的平移量是 $\left|\dfrac{\varphi}{\omega}\right|$ 而不是 $|\varphi|$，忘了提 $\omega$，挪的距离就错了 $\omega$ 倍。

解法二：只跟着两个特征点走——最高点挪到哪儿，整条曲线就挪到哪儿

怎么想到的。 认图靠的是几条特征，不是整条解析式。挑两个最好算的点跟着走，比推式子更不容易错方向——点的横坐标乘 $2$ 就是乘 $2$，不必在心里再翻一次。

挑点。 $y=\cos 2x+1$ 的周期是 $\pi$，最高点在 $\cos 2x=1$ 处，即 $x=0,\ \pi,\ 2\pi,\dots$，高度 $y=2$；最低点在 $\cos 2x=-1$ 处，即 $x=\dfrac{\pi}{2}$，高度 $y=0$。取三个点跟着走：

$$P_1(0,\,2),\qquad P_2(\pi,\,2),\qquad Q\!\left(\frac{\pi}{2},\,0\right) .$$

第一步（横坐标乘 $2$，纵坐标不动）：

$$P_1(0,2),\qquad P_2(2\pi,2),\qquad Q(\pi,0) .$$

相邻两个最高点的横坐标之差从 $\pi$ 变成 $2\pi$——周期翻倍，这一步的效果一眼可见。

第二步（左移 $1$，横坐标减 $1$）：

$$P_1(-1,2),\qquad P_2(2\pi-1,2),\qquad Q(\pi-1,0) .$$

第三步（下移 $1$，纵坐标减 $1$）：

$$P_1(-1,1),\qquad P_2(2\pi-1,1),\qquad Q(\pi-1,-1) .$$

读出四条特征。 最高点 $(-1,1)$、最低点 $(\pi-1,-1)$、周期 $2\pi$、最大值与最小值关于 $y=0$ 对称。这四条已经足以从四张图里挑出唯一的一张：最高点落在 $y$ 轴左边一个单位处，曲线上下各到 $1$。

回头对一次。 解法一算出的是 $y=\cos(x+1)$：$x=-1$ 时 $\cos 0=1$ ✓；$x=\pi-1$ 时 $\cos\pi=-1$ ✓。两条路对上了。

这条路的好处。 它不需要写下任何一个含 $x$ 的式子，因而绕开了「图变宽、式子里的 $x$ 反而变小」这个最容易反着记的地方——点的横坐标是实打实地乘 $2$，没有反向。

解法三：倒着走一遍——把三步逆序还原，看能不能回到 $y=\cos 2x+1$

怎么想到的。 变换是可逆的：把三步倒过来、每一步反着做，如果能一路退回题面那条曲线，就说明落点没错。这条路不产出答案，它专门用来验答案，而且恰好把最容易错的「顺序」与「方向」各查了一遍。

待验的是 $y=\cos(x+1)$。 三步的逆序是：先撤最后一步，再撤第二步，最后撤第一步。

撤第三步（原来向下平移 $1$，逆过来是向上平移 $1$）：

$$y=\cos(x+1)+1 .$$

撤第二步（原来向左平移 $1$，逆过来是向右平移 $1$，即 $x\to x-1$）：

$$y=\cos\bigl((x-1)+1\bigr)+1=\cos x+1 .$$

撤第一步（原来横坐标伸长到 $2$ 倍，逆过来是压缩到原来的 $\dfrac{1}{2}$，即 $x\to 2x$）：

$$y=\cos 2x+1 .$$

正是题面那条曲线，三步全部还原成功。

它能查出什么。 假如第二步的方向记反了（把左移当成 $x\to x-1$），得到的是 $y=\cos(x-1)$；三步逆序走回去是 $\cos(x-1)+1\to\cos(x-2)+1\to\cos(2x-2)+1$，回不到 $\cos 2x+1$，当场露馅。

假如顺序做反、得到的是 $y=\cos(x+2)$，逆序三步是

$$\cos(x+2)\ \xrightarrow{\ \text{上移}1\ }\ \cos(x+2)+1 \ \xrightarrow{\ x\to x-1\ }\ \cos(x+1)+1 \ \xrightarrow{\ x\to 2x\ }\ \cos(2x+1)+1 ,$$

同样对不上。一个错，逆序就闭不了环——这正是它作为验算的价值。

逆序自己也有个顺序，别再做反一次。 上面这三步必须是「先撤第三步、再撤第二步、最后撤第一步」。若把最后两步再对调（先 $x\to 2x$ 得 $\cos(2x+2)+1$，再 $x\to x-1$），算出来恰好是 $\cos 2x+1$——一个假的闭环：错的落点配上错的逆序，反而「验」通过了。验算的顺序写反，验算本身就失效了。

三条提醒

1. 横坐标伸长与式子里的替换，方向永远相反。 「横坐标伸长到原来的 $k$ 倍」在解析式里是 $x\to\dfrac{x}{k}$；「压缩到原来的 $\dfrac{1}{k}$」才是 $x\to kx$。记法只要一句：图变宽，式子里的 $x$ 变小。
2. 平移改的是 $x$，不是相位。 「向左平移 $t$」是 $x\to x+t$。当 $x$ 前面带系数 $\omega$ 时，$\cos(\omega x)\to\cos\bigl(\omega(x+t)\bigr)=\cos(\omega x+\omega t)$——相位挪的是 $\omega t$ 而不是 $t$。本题因为先做了伸缩、平移时 $x$ 的系数已经是 $1$，才恰好不用提系数；顺序一换就必须提。
3. 上下平移动不了「最大减最小」。 $y=\cos 2x+1$ 的最大值 $2$、最小值 $0$，差是 $2$；下移 $1$ 之后变成 $1$ 与 $-1$，差还是 $2$。这个差只由振幅决定，是平移碰不到的量——认图时可以拿它先砍掉一批：上下幅度不等于 $2$ 的，一律不是。