浙江 2022 · 数学 q06

冷启动：平移到底改了什么

假设你只知道 $y=\sin x$ 长什么样。这道题要用的全部知识就是下面两件事。

① 平移是把「点」搬过去，写成式子却是「$x$ 换成 $x-t$」。

把 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $t$ 个单位（$t>0$），新图象在横坐标 $x$ 处的高度，应该等于老图象在 $x-t$ 处的高度——原来长在 $x-t$ 那儿的一段，被搬到了 $x$。所以新函数是

$$y=f(x-t)\quad(\text{右移 }t),\qquad y=f(x+t)\quad(\text{左移 }t)$$

右移写减、左移写加，就是俗称的「左加右减」。它看着反直觉，但只是「把点搬过去」这句话的代数写法。

② 关键：换的是 $x$，不是括号里那一整坨。

这道题的函数里 $x$ 前面还挂着一个 $3$。右移 $t$ 之后：

$$2\sin\!\big(3(x-t)+\tfrac{\pi}{5}\big)=2\sin\!\big(3x+\tfrac{\pi}{5}-3t\big)$$

相位少掉的是 $3t$，不是 $t$。 反过来说：想让相位少 $\dfrac{\pi}{5}$，只要平移 $\dfrac{\pi}{5}\div 3=\dfrac{\pi}{15}$ 就够了。

这一条就是整道题的全部机关，也是四个选项的设计依据——两个错在量（$\dfrac{\pi}{5}$ 没除以 $3$），两个错在向。

③ 先确认这是一次纯平移。 源 $y=2\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{5}\right)$ 与目标 $y=2\sin 3x$：振幅都是 $2$、$\omega$ 都是 $3$，形状完全一样，只是位置不同。只有这时候才可能靠平移得到——若 $\omega$ 不同，还要横向伸缩，那是另一类题。

④ 别把起点终点读反。 题面说「为了得到 $y=2\sin3x$，把 $y=2\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{5}\right)$ 的图象平移」——起点是带 $\dfrac{\pi}{5}$ 的那条，终点是不带的那条。反过来读，方向就整个反了。

解法一：把 ω 提到括号外再比

怎么想到的。 上面第 ② 条说，麻烦全在「$x$ 前面挂着 $3$」上。那就干脆把这个 $3$ 提到括号外——一旦写成 $2\sin\big(3(x-x_0)\big)$ 的模样，括号里 $x$ 后面跟的那个数已经是除过 $3$ 的了，直接就是这条曲线被挪到了哪儿。量和向一起读出来，不用再想任何口诀。

① 源曲线提出 $3$。

$$y=2\sin\!\left(3x+\frac{\pi}{5}\right) =2\sin\!\left(3\left(x+\frac{\pi}{15}\right)\right)$$

（提的时候把 $\dfrac{\pi}{5}$ 除以 $3$：$\dfrac{\pi}{5}\div3=\dfrac{\pi}{15}$。这一步就是那个「除以 $\omega$」，它在这条路上是提公因式的自然结果，想漏都漏不掉。）

写成「$x$ 减去某个数」的标准模样：

$$y=2\sin\!\left(3\left(x-\left(-\frac{\pi}{15}\right)\right)\right) \quad\Longrightarrow\quad x_0^{\text{源}}=-\frac{\pi}{15}$$

② 目标曲线同样处理。

$$y=2\sin 3x=2\sin\big(3(x-0)\big)\quad\Longrightarrow\quad x_0^{\text{目标}}=0$$

③ 相减求位移。

$$t=x_0^{\text{目标}}-x_0^{\text{源}}=0-\left(-\frac{\pi}{15}\right)=+\frac{\pi}{15}$$

$t>0$，向右平移 $\dfrac{\pi}{15}$ 个单位，选 D。

④ 代回验一遍。 把源函数里的 $x$ 换成 $x-\dfrac{\pi}{15}$：

$$2\sin\!\left(3\left(x-\frac{\pi}{15}\right)+\frac{\pi}{5}\right) =2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{5}+\frac{\pi}{5}\right)=2\sin 3x\ ✓$$

正是目标函数（这也是官方解析写的那一行）。

解法二：跟着一个特征点走

怎么想到的。 平移是刚性的——曲线上每个点挪的距离和方向都一样。所以根本不用管整条曲线，盯住一个点就够了：看它从哪儿挪到哪儿，位移就是答案。

这条路最大的好处是完全不用「左加右减」这个口诀：位移由两个横坐标相减量出来，正负自己会说话，没有可以背反的东西。

① 挑一个两条曲线都好认的点。 最省事的是「相位为零的那个上升零点」——正弦从这里由负变正、开始上升。（挑最高点也一样，只要两边挑的是同一类点。）

② 源曲线的那个点。 令相位为零：

$$3x+\frac{\pi}{5}=0\ \Longrightarrow\ 3x=-\frac{\pi}{5}\ \Longrightarrow\ x=-\frac{\pi}{15}$$

③ 目标曲线的那个点。 同样令相位为零：

$$3x=0\ \Longrightarrow\ x=0$$

④ 量位移。 这个点从 $-\dfrac{\pi}{15}$ 跑到了 $0$：

$$t=0-\left(-\frac{\pi}{15}\right)=\frac{\pi}{15}>0$$

正数就是向右。整条曲线跟着它一起向右挪 $\dfrac{\pi}{15}$ 个单位，选 D。

⑤ 换个特征点核一遍。 不放心就用最高点再来一次（令相位 $=\dfrac{\pi}{2}$）：

$$\text{源：}3x+\frac{\pi}{5}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{15}=\frac{5\pi-2\pi}{30}=\frac{\pi}{10}$$ $$\text{目标：}3x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}$$ $$t=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{10}=\frac{5\pi-3\pi}{30}=\frac{2\pi}{30}=\frac{\pi}{15}\ ✓$$

同一个答案。说句实话：两次都是按「相位相等」配的点，结果必然一致，所以这更像一次算术自检（防止第 ② 步解方程时算错），而不是对「刚性平移」的独立验证。真正保证刚性的是第 ① 步验过的「$A$、$\omega$ 都相同」。

⑥ 一句补充：答案模周期不唯一。 特征点每隔一个周期 $T=\dfrac{2\pi}{3}$ 出现一次，所以「向右 $\dfrac{\pi}{15}+\dfrac{2k\pi}{3}$」都对。选项给的一律是绝对值最小的那个，本题就是 $\dfrac{\pi}{15}$。

这两条路差在哪

• 解法一动的是式子：把 $\omega$ 提出来，让两条曲线写成同一副模样，再比括号里的那个数。它给出的是一个恒等变形，代回去能验，结论完整。
• 解法二动的是一个点：只解两个一元一次方程，量出这个点挪了多远。它压根不写平移后的解析式，也不用「左加右减」。

第一个实质动作就分岔了（提公因式 vs 解特征点方程），依赖的东西也不同（提出 $\omega$ 后的标准形 vs 平移的刚性 + 一次方程），所以是两条路。

考场上怎么选：$\varphi$ 能被 $\omega$ 整除得干净时（本题 $\dfrac{\pi}{5}\div3$ 很干净），解法一一行就完；相位数值别扭、或者题目本来就配了图时，解法二更稳——它把抽象的口诀换成了两个具体的横坐标。两条都跑一遍最保险，因为这道题四个选项恰好把「量错」「向错」都摆着等人。

🕳️ 避坑

• 平移量 = 相位差 ÷ $\omega$。 相位差是 $\dfrac{\pi}{5}$，但 $\omega=3$，所以平移量是 $\dfrac{\pi}{15}$。直接答 $\dfrac{\pi}{5}$ 就落进 A 或 B——出题人把这个错摆了两次（左右各一个），足见它有多常见。
• 相位减 ⟺ 图象右移。 目标比源少了 $\dfrac{\pi}{5}$ 的相位，所以是向右。相位的加减与图象的左右方向是反着的，凭感觉走会落进 C。
• 先确认 $A$、$\omega$ 都一样。 本题两条曲线的振幅都是 $2$、$\omega$ 都是 $3$，所以只需平移。少了这一步，「平移多少」这个问题本身可能就不成立。
• 别把起点终点读反。 「为了得到 $y=2\sin3x$，把 $y=2\sin\left(3x+\dfrac{\pi}{5}\right)$ 平移」——从带 $\dfrac{\pi}{5}$ 的那条出发。反着读方向就整个反了，答案从 D 变成 C。
• 本题特有的一处：$\dfrac{\pi}{5}$ 与 $\dfrac{\pi}{15}$ 恰好差 $3$ 倍，而 $\omega$ 也正好是 $3$——这不是巧合，是出题人拿 $\omega$ 造的干扰项。看到「相位里的数」与「选项里的数」差整整 $\omega$ 倍，就该警觉哪个才是平移量。