浙江 2010 · 数学 q10

冷启动：$12$ 条曲线、$12$ 个点，问的是「恰好」

$P$ 与 $Q$ 是两个用描述法写出来的有限集合：$a$ 有 $4$ 个取值、$b$ 有 $3$ 个，所以 $P$ 里一共 $4\times3=12$ 个函数；$Q$ 同样是 $4\times3=12$ 个点，摆成一张 $4$ 列 $3$ 行的点阵。要数的是：这 $12$ 条曲线里，有几条恰好穿过点阵中的两个点。

这是一道参数族里数合格函数的个数：参数不在区间里连续地跑，而是写死在一张短表上，所以答案一定是个具体的自然数，候选总数一眼可数。三句话先把局面理清。

第一句：$12$ 条曲线是同一条曲线搬出来的。

$$f(x)=\log_2(x+a)+b$$

就是把最标准的那条对数函数图象 $y=\log_2x$ 向左搬 $a$、再向上搬 $b$（左加右减）。于是 $a$ 只管左右、$b$ 只管上下：这条曲线的竖直渐近线在 $x=-a$，定义域是 $x>-a$，与 $x$ 轴的交点在 $x=1-a$。照着没平移的 $y=\log_2x$ 去描点，整条曲线就整体错位——这是本题最省事也最致命的一种错法（易错点「对数图象漏了平移」）。

第二句：「图象过点」是一条能算的等式，不必看图。 由对数的定义，曲线过点 $(x_0,y_0)$ 就是

$$\log_2(x_0+a)+b=y_0 \quad\Longleftrightarrow\quad \log_2(x_0+a)=y_0-b \quad\Longleftrightarrow\quad x_0+a=2^{\,y_0-b} .$$

最后一步顺带把定义域 $x_0+a>0$ 一并兑现了——$2$ 的任何次幂都是正的，所以写成指数式之后不必再单独验一次定义域。

而 $y_0$ 与 $b$ 都只从 $\{-1,0,1\}$ 里取，指数 $y_0-b$ 只能是 $-2,-1,0,1,2$，右边只能是

$$\frac14,\qquad \frac12,\qquad 1,\qquad 2,\qquad 4$$

五个数之一。整道题被离散化了：只要看 $x_0+a$ 是不是这五个数里的一个。

第三句：「恰好」两个字是一道门。 数出来「至少过两个点」的曲线有 $7$ 条，其中一条过了 $3$ 个点；「恰好两个」把它挡在门外，只剩 $6$ 条。本题选项里没有 $7$，所以多数一条你会当场发现不对——但这纯属运气好，换一张选项表就照着掉进去了（易错点「恰好几个当成至少几个」）。

先把 $x_0+a$ 这张表算出来，后面三条路都要用它。$x_0$ 取遍 $-\dfrac12,\ 0,\ \dfrac12,\ 1$：

第一行不必逐个试：$x_0$ 的分母只可能是 $1$ 或 $2$，减去 $\dfrac13$ 之后分母必带因子 $3$；而 $2^{k}$ 写成既约分数时分母只能是 $2$ 的幂。$a=-\dfrac13$ 这一整行当场出局，它那三条曲线一个点都过不了。

把第四列那个指数集合记作 $K_a$：

$$K_{-1/3}=\varnothing,\qquad K_{0}=K_{1/2}=\{-1,0\},\qquad K_{1}=\{-1,0,1\} .$$

解法一：原卷路线——按 $a$ 分成四组，$b$ 只管把整条曲线上下挪

原卷的解析只把六组答案抄了出来，没写过程。补上的过程是这样的：先用描述法化列举法把 $P$ 摊开成 $4$ 行 $3$ 列的 $12$ 个 $(a,b)$，再按 $a$ 分成四组——因为 $a$ 一定，曲线的形状就定了，$b$ 只是把它整体上下挪。

基准曲线（$b=0$）在四条竖线上的高度。 冷启动那张表已经算好：$a$ 给定时，$Q$ 的四条竖线 $x_0=-\dfrac12,\ 0,\ \dfrac12,\ 1$ 里，只有落在 $K_a$ 里的那几条给得出整数高度 $k$；其余要么无定义（$x_0+a\leqslant0$），要么高度不是整数。

为什么非整数的高度可以一次都不算。 加上 $b$ 之后高度变成 $k+b$，而 $b$ 与 $Q$ 的纵坐标都是整数；非整数加整数还是非整数，永远落不回点阵。于是

$$0<\log_2\tfrac32<1,\qquad -1<\log_2\tfrac23<0,\qquad -3<\log_2\tfrac16<-2$$

（三个都夹在相邻两个整数之间，因为 $1<\tfrac32<2$、$\tfrac12<\tfrac23<1$、$\tfrac18<\tfrac16<\tfrac14$），这些高度直接扔掉，一个对数值都不用真算。

逐行数。 曲线过 $(x_0,y_0)$ 当且仅当高度 $k+b$ 落进 $\{-1,0,1\}$：

• $a=-\dfrac13$：$K=\varnothing$，三格全是 $0$ 个。
• $a=0$：$K=\{-1,0\}$。$b=-1$ 时两个高度是 $-2,-1$，只有 $-1$ 在点阵里 → $1$ 个；$b=0$ 时是 $-1,0$ → $2$ 个；$b=1$ 时是 $0,1$ → $2$ 个。
• $a=\dfrac12$：$K$ 与上一行相同，于是逐格相同 → $1,\ 2,\ 2$。
• $a=1$：$K=\{-1,0,1\}$。$b=-1$ 时是 $-2,-1,0$ → $2$ 个；$b=0$ 时是 $-1,0,1$ → $3$ 个；$b=1$ 时是 $0,1,2$ → $2$ 个。

挑出「恰好两个」的格子：

$$(0,0),\quad (0,1),\quad \left(\tfrac12,0\right),\quad \left(\tfrac12,1\right),\quad (1,-1),\quad (1,1) ,$$

共 $6$ 个。答案 B。 这六组与原卷解析点名的六组逐字相同。

顺手核一眼 $a=1,\ b=0$ 那一格。 它是 $y=\log_2(x+1)$，过 $\left(-\dfrac12,-1\right)$、$(0,0)$、$(1,1)$ 三个点——全表唯一一条过三个点的曲线。它「至少两个」，但不「恰好两个」，不计入。表里正是这一格把「恰好」和「至少」分了开来。

解法二：把「过点」写成一个整数方程——$b$ 变成一扇长度为 $3$ 的滑动窗

怎么想到的。 上一条路逐格算了 $12$ 次。可仔细看会发现：一行里三个格子的数字并不独立。$b$ 的作用只是把 $K_a$ 里的每个 $k$ 都加上同一个 $b$，再看有几个落进 $\{-1,0,1\}$——反过来读，就是把一扇固定宽度的窗在整数轴上滑动去截 $K_a$。

把窗口写出来。 条件 $k+b\in\{-1,0,1\}$ 等价于

$$k\in W_b:=\{-1-b,\ -b,\ 1-b\} ,$$

于是 $(a,b)$ 那一格的数字就是

$$N(a,b)=\bigl\lvert K_a\cap W_b\bigr\rvert .$$

$b$ 取 $-1,\ 0,\ 1$ 时，三扇窗分别是

$$W_{-1}=\{0,1,2\},\qquad W_{0}=\{-1,0,1\},\qquad W_{1}=\{-2,-1,0\} ,$$

宽度都是 $3$，位置依次左移一格。

于是按 $K_a$ 的形状分类讨论就够了，逐格算是多余的。 本题只出现三种 $K_a$：

• $K_a=\varnothing$：三格都是 $0$，这一行贡献 $0$ 条。
• $K_a=\{-1,0\}$：与三扇窗相交依次得 $\{0\}$、$\{-1,0\}$、$\{-1,0\}$，即 $1,\ 2,\ 2$ —— 两格是「恰好两个」。
• $K_a=\{-1,0,1\}$：依次得 $\{0,1\}$、$\{-1,0,1\}$、$\{-1,0\}$，即 $2,\ 3,\ 2$ —— 还是两格是「恰好两个」。

收口。 四个 $a$ 里，$a=-\dfrac13$ 落在第一类、贡献 $0$；$a=0$ 与 $a=\dfrac12$ 落在第二类、$a=1$ 落在第三类，各贡献 $2$：

$$0+2+2+2=6 .$$

答案 B。

这句「各贡献 $2$」只对本题的 $K$ 成立，不是通则。 它靠的不只是 $K_a$ 的个数，还有 $K_a$ 的位置。比如若某个 $K$ 是 $\{1,2\}$，三扇窗里只有 $W_{-1}=\{0,1,2\}$ 装得下它，那一行就只有一格是 $2$。本题的 $K$ 恰好都贴着 $0$ 附近，才有这个齐整的结果——而 $K$ 贴着 $0$，又是因为 $Q$ 的横坐标里恰好有 $\dfrac12$ 与 $1$ 这两个 $2$ 的低次幂。

解法三：反过来：曲线钉死不动，让点阵搬家，按列数再用关联总数对账

怎么想到的。 前两条路都让曲线动、点阵不动。可平移是相对的——把等式

$$\log_2(x_0+a)=y_0-b$$

原样读一遍，它说的是：点 $\bigl(x_0+a,\ y_0-b\bigr)$ 落在那条永远不动的曲线 $y=\log_2x$ 上。 于是换个视角：曲线钉死，把整张点阵向右搬 $a$、向下搬 $b$，数它有几个点掉在曲线上。

定曲线上能被用到的位置只有五个。 搬完之后纵坐标是 $y_0-b\in\{-2,-1,0,1,2\}$，所以能接住点的只有

$$\left(\tfrac14,-2\right),\quad \left(\tfrac12,-1\right),\quad (1,0),\quad (2,1),\quad (4,2) .$$

先按列筛。 横向的搬家量只有 $a$，与 $b$ 无关，所以先对 $Q$ 的四条竖线分别问一句：这一列搬 $a$ 之后，横坐标正好是 $2$ 的整数次幂吗？答案就是冷启动那张表换个方向读：

一共 $7$ 组「列 $+\ a$」的搭配。

每组搭配供出哪些关联。 一组搭配 $(x_0,a,k)$ 的意思是：所有以这个 $a$ 为参数的曲线，在这一列上的高度都是 $k+b$。它落进 $Q$ 当且仅当 $k+b\in\{-1,0,1\}$，也就是

$$k=-1\ \to\ b=0,1 ;\qquad k=0\ \to\ b=-1,0,1 ;\qquad k=1\ \to\ b=-1,0 .$$

逐组写出来（箭头右边是曲线拿到的那个点）：

• 列 $-\dfrac12$，$a=1$，$k=-1$：$(1,0)\to\left(-\dfrac12,-1\right)$；$(1,1)\to\left(-\dfrac12,0\right)$。
• 列 $0$，$a=\dfrac12$，$k=-1$：$\left(\dfrac12,0\right)\to(0,-1)$；$\left(\dfrac12,1\right)\to(0,0)$。
• 列 $0$，$a=1$，$k=0$：$(1,-1)\to(0,-1)$；$(1,0)\to(0,0)$；$(1,1)\to(0,1)$。
• 列 $\dfrac12$，$a=0$，$k=-1$：$(0,0)\to\left(\dfrac12,-1\right)$；$(0,1)\to\left(\dfrac12,0\right)$。
• 列 $\dfrac12$，$a=\dfrac12$，$k=0$：$\left(\dfrac12,-1\right)\to\left(\dfrac12,-1\right)$；$\left(\dfrac12,0\right)\to\left(\dfrac12,0\right)$；$\left(\dfrac12,1\right)\to\left(\dfrac12,1\right)$。
• 列 $1$，$a=0$，$k=0$：$(0,-1)\to(1,-1)$；$(0,0)\to(1,0)$；$(0,1)\to(1,1)$。
• 列 $1$，$a=1$，$k=1$：$(1,-1)\to(1,0)$；$(1,0)\to(1,1)$。

关联总数。 七组里 $k=-1$ 的有 $3$ 组（各供 $2$ 条）、$k=0$ 的有 $3$ 组（各供 $3$ 条）、$k=1$ 的有 $1$ 组（供 $2$ 条）：

$$3\times2+3\times3+1\times2=6+9+2=17 .$$

按曲线归堆。 把上面 $17$ 条关联按左边那个 $(a,b)$ 分类：

$$(1,0)\ \text{拿到}\ 3\ \text{个};\qquad (1,1),\ \left(\tfrac12,0\right),\ \left(\tfrac12,1\right),\ (1,-1),\ (0,0),\ (0,1)\ \text{各拿到}\ 2\ \text{个};$$ $$\left(\tfrac12,-1\right),\ (0,-1)\ \text{各拿到}\ 1\ \text{个};\qquad a=-\tfrac13\ \text{的三条一个都没拿到} .$$

九条有名有姓的曲线加上三条空手的，正好 $12$ 条；拿到的个数加起来 $3+2\times6+1\times2=17$，与上面独立数出的关联总数一致。

恰好拿到两个的有 $6$ 条，答案 B。

这条路的性价比。 单论把 $6$ 数出来，它比解法二长。但它给了一个别的路给不了的东西：同一批关联被按两个正交的方向数了两遍——解法一是按曲线（行）求和，这里是按列求和，两边都得 $17$。选择题最怕「每一步都像对的、合起来错一格」，而这种错在两次求和一碰之下藏不住。把解法一那张表的十二格加起来验一次：

$$\underbrace{0+0+0}_{a=-1/3}+\underbrace{1+2+2}_{a=0}+\underbrace{1+2+2}_{a=1/2}+\underbrace{2+3+2}_{a=1}=17 .$$