参数族里数合格函数的个数

题型说明

• 常见问法：「设函数的集合 $P=\{f(x)=\cdots\mid a=\cdots;\ b=\cdots\}$……则 $P$ 中满足某条件的函数的个数是」。 参数的取值不是区间，是一张写死的短表，所以答案一定是个具体的自然数，且候选总数（表的行数×列数）一眼可数。
• 关键动作三步：
  1. 先把条件翻译成参数的等式。「图象过点 $(x_0,y_0)$」就是 $f(x_0)=y_0$，这一步把几何说法换成一条能验算的式子。
  2. 找出与某一个参数无关的那一半。参数常常一个管形状、一个管平移；把管平移的那个先分离出来，剩下的表就只剩几行要算。
  3. 列表逐格填，把整张表填满再数——不要一边填一边下结论。
• 表填满之后往往还看得出结构（某两行完全相同、某一行整行是 $0$），那就是检验有没有算错的免费对账。

常见陷阱

• 把「恰好 $k$ 个」读成「至少 $k$ 个」，多数了超标的那一格（详见易错点「恰好几个当成至少几个」）。
• 只验了条件的必要部分：比如只检查「解出的参数在表里」，忘了回头验它确实落在函数的定义域内。
• 参数表里有重复或等价的取值，导致同一个函数被数两遍。