浙江 2016 · 数学 q10

冷启动：右边是标准形，左边不是——把左边搬过去

题面给的是一个恒等式：对一切实数 $x$，

$$2\cos^{2}x+\sin 2x=A\sin(\omega x+\varphi)+b\qquad(A>0).$$

右边 $A\sin(\omega x+\varphi)+b$ 是三角函数的标准形，四个参数各管一件事： $A$ 管振幅（波有多高），$\omega$ 管频率，$\varphi$ 管左右平移，$b$ 管上下平移。 题目只问 $A$ 和 $b$，也就是只问波有多高、中线在哪儿——频率与相位一概不问。

左边不是标准形，毛病有两处：一是 $\cos^{2}x$ 是二次的，二是它含两种不同的三角式。 所以整条路就两步：先降幂把二次变一次，再合一把两个三角式并成一个。

另一条路则完全绕开化简：既然两边恒等，它们的值域必须一样。 右边的值域按参数写出来是 $[\,b-A,\ b+A\,]$，左边的最大最小值可以直接估——两组端点一配对，$A$、$b$ 就出来了。

解法一：降幂再辅助角，把左边整理成标准形

第一步：降幂，$\cos^{2}x$ 变成 $\cos 2x$

二倍角余弦有三种写法，这里要用含 $\cos^{2}$ 的那一支：

$$\cos 2x=2\cos^{2}x-1\ \Longrightarrow\ 2\cos^{2}x=1+\cos 2x .$$

（另外两支是 $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$ 和 $\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$， 这道题用它们要多绕一步。挑错支是这一步唯一的坑。）

代回左边：

$$2\cos^{2}x+\sin 2x=1+\cos 2x+\sin 2x .$$

注意常数项 $1$ 已经落定了。 后面的合一只动 $\cos 2x+\sin 2x$ 那一块， 不会再产生常数，所以 $b=1$ 到这一步其实已经定了。

第二步：辅助角，把两个三角式合成一个

辅助角公式说：对任意常数 $m$、$n$（不同时为零），

$$m\sin\theta+n\cos\theta=\sqrt{m^{2}+n^{2}}\,\sin(\theta+\varphi),$$

其中 $\varphi$ 由 $\cos\varphi=\dfrac{m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}$、$\sin\varphi=\dfrac{n}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}$ 定出。

这里 $\theta=2x$，$\sin 2x$ 的系数 $m=1$，$\cos 2x$ 的系数 $n=1$，于是

$$\sqrt{m^{2}+n^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},$$

而 $\cos\varphi=\sin\varphi=\dfrac{1}{\sqrt2}$ 给出 $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$。所以

$$\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\,\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{4}\right).$$

第三步：拼回去，对照标准形

$$2\cos^{2}x+\sin 2x=\sqrt{2}\,\sin\!\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+1 .$$

与 $A\sin(\omega x+\varphi)+b$ 逐项对照：$A=\sqrt{2}$，$\omega=2$，$\varphi=\dfrac{\pi}{4}$，$b=1$。 题面限定 $A>0$，而 $\sqrt2>0$，符合。

答案：$A=\sqrt{2}$，$b=1$。

（顺带说明为什么 $A>0$ 这个条件不能省： $\sqrt{2}\sin\!\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)+1=-\sqrt{2}\sin\!\left(2x+\dfrac{\pi}{4}+\pi\right)+1$， 所以不加限制的话 $A=-\sqrt2$ 配上另一个 $\varphi$ 也成立，答案就不唯一了。）

解法二：两边取值域，A 与 b 由最大最小值定出来

这条路不化简，只比较两边能取到哪些值。

第一步：右边的值域按参数写出来

$\omega\neq 0$ 时，$\omega x+\varphi$ 随 $x$ 取遍全体实数，于是 $\sin(\omega x+\varphi)$ 取遍 $[-1,1]$。 又 $A>0$，故

$$A\sin(\omega x+\varphi)+b\ \text{的值域是}\ [\,b-A,\ b+A\,],$$

最小值 $b-A$、最大值 $b+A$ 都取得到。

第二步：左边先化成一次式（只降幂，不合一）

$$2\cos^{2}x+\sin 2x=1+\cos 2x+\sin 2x .$$

记 $u=\cos 2x$、$v=\sin 2x$，则 $u^{2}+v^{2}=1$，而左边 $=1+(u+v)$。 问题变成：当 $(u,v)$ 跑遍单位圆时，$u+v$ 能取到哪些值？

第三步：$u+v$ 的范围，用一个平方就够

由 $(u-v)^{2}\geq 0$ 得 $2uv\leq u^{2}+v^{2}$，于是

$$(u+v)^{2}=u^{2}+v^{2}+2uv\leq 2\left(u^{2}+v^{2}\right)=2 ,$$

即 $|u+v|\leq\sqrt{2}$。两端都取得到：取 $u=v=\dfrac{1}{\sqrt2}$（此时 $u^{2}+v^{2}=1$，在单位圆上） 得 $u+v=\sqrt2$；取 $u=v=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ 得 $u+v=-\sqrt2$。 又 $u+v$ 随 $x$ 连续变化，故它的取值范围恰是 $[-\sqrt{2},\ \sqrt{2}]$。

于是左边的值域是

$$[\,1-\sqrt{2},\ 1+\sqrt{2}\,].$$

第四步：两组端点配对

两边恒等，值域必须相同：

$$b-A=1-\sqrt{2},\qquad b+A=1+\sqrt{2} .$$

两式相加除以 $2$ 得 $b=1$；两式相减除以 $2$ 得 $A=\sqrt{2}$。 （这正是「$b$ 是最大与最小的平均、$A$ 是它们之差的一半」，教学图上块量的就是这两个几何量。）

第五步：回代验一下

$A=\sqrt2>0$ 满足题面限制。而 $\sqrt{2}\sin\!\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)+1$ 展开正是 $1+\cos 2x+\sin 2x=2\cos^{2}x+\sin 2x$，确实与左边恒等，所以这组 $A$、$b$ 是真的解。

答案：$A=\sqrt{2}$，$b=1$。

回头看：两条路各自强在哪儿

解法一是标准流水线，两步走完顺带把 $\omega=2$、$\varphi=\dfrac{\pi}{4}$ 也算了出来。 题目只问 $A$、$b$ 时它稍有浪费，但一旦接着问周期、单调区间、对称轴， 化成标准形是绕不过去的，所以这条路的产出最全。

解法二只用「恒等 $\Rightarrow$ 值域相同」，根本不碰相位。 它把两个待求量翻译成两个几何量——中线的高度和中线到包络的距离—— 这也是为什么教学图能把 $A$、$b$ 直接量出来。 代价是它只给出必要的约束：值域一样并不等于函数一样，所以第五步的回代不能省。

两条路共用同一步：降幂。$\cos^{2}x$ 不降下来，左边既合不成一个正弦， 也看不出 $u^{2}+v^{2}=1$ 这个单位圆结构。而降幂那一步的坑只有一个—— 二倍角余弦三种形式里要挑含 $\cos^{2}$ 的那一支，挑成 $1-2\sin^{2}x$ 会多绕一大圈。

一句话记住这道题：降幂之后剩下的常数项就是 $b$， 把剩下那个「正弦 $+$ 余弦」合成一个正弦，合出来的振幅 $\sqrt{m^{2}+n^{2}}$ 就是 $A$。