三角式化成单个正弦

题型说明

• 常见问法：「已知 $f(x)=\cdots=A\sin(\omega x+\varphi)+b$，求 $A$、$b$」， 或先化一再问周期、最值、单调区间、对称轴。
• 给的是什么：一个含 $\sin x$、$\cos x$ 的二次或一次组合。

解题主线

标准流水线是「降幂 → 合一」两步：

1. 降幂：把 $\sin^{2}$、$\cos^{2}$、$\sin x\cos x$ 全换成 $\sin 2x$、$\cos 2x$ 与常数。 $$\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad 2\sin x\cos x=\sin 2x .$$ 降完之后式子形如 $m\sin 2x+n\cos 2x+b$——常数项就是最后的 $b$。
2. 合一：用辅助角把 $m\sin\theta+n\cos\theta$ 合成 $\sqrt{m^{2}+n^{2}}\sin(\theta+\varphi)$， $\sqrt{m^{2}+n^{2}}$ 就是 $A$。

常见陷阱

• 二倍角余弦有三种写法，降幂时挑错了那一支（见易错点）。
• 合一时把 $\sqrt{m^{2}+n^{2}}$ 写成 $m+n$。
• 题面若限定 $A>0$，合出来的振幅取正号；没限定时 $A$ 与 $-A$ 都对，$\varphi$ 差 $\pi$。