比对值域定参数

解题套路

1. 确认是恒等式，不是某几个点上相等——「对一切 $x$ 成立」这句话必须在题面里。

2. 右边的值域按参数写出来。例如 $A\sin(\omega x+\varphi)+b$（$A>0$，$\omega\neq 0$）的 值域是 $[\,b-A,\ b+A\,]$，因为 $\sin$ 在整个实数轴上取遍 $[-1,1]$。

3. 左边的值域自己算（求导、配方、放缩、单位圆……都行）。

4. 两组端点配对：$b-A=\min$，$b+A=\max$，于是

   $$b=\frac{\max+\min}{2},\qquad A=\frac{\max-\min}{2} .$$

   两个待定量各有一个几何意义：$b$ 是中线的高度，$A$ 是中线到包络的距离。

什么时候特别划算

• 待求的正是振幅与竖直平移，而相位与频率不问——这条路根本不必把它们算出来。
• 左边的最值好求（例如是一个显然的有界式子），而化简成标准形反而绕。

边界提醒

• $\omega=0$ 时右边是常数，取不到 $[\,b-A,\ b+A\,]$ 的两端，这条路作废。
• 只有 $A>0$ 才能说「$b+A$ 是最大值」；若题面没给 $A>0$，$A$ 与 $-A$ 都行，答案不唯一。
• 值域相同是恒等的必要条件，不是充分条件。用它解出参数之后， 最好把结果代回原式核一遍（或另有理由保证解唯一）。