浙江 2019 · 数学 q18

题面

18. 设函数 $f(x) = \sin x, x \in R$.

(1) 已知 $\theta \in[0, 2\pi)$, 函数 $f(x + \theta)$ 是偶函数, 求 $\theta$ 的值;

（2）求函数 $y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)\right]^{2}+\left[f\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{2}$ 的值域.

（1）已知 $\theta \in[0, 2\pi)$ ，函数 $f(x + \theta)$ 是偶函数，求 $\theta$ 的值；

（2）求函数 $y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)\right]^{2}+\left[f\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{2}$ 的值域.

答案

（1） $\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi$ ；（2） $\left[1-\frac{\sqrt{3}}{2},1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ .

解析

分析

(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定 $\theta$ 的值;

(2)首先整理函数的解析式为 $y = a \sin(\omega x + \varphi) + b$ 的形式，然后确定其值域即可.

(1)由题意结合函数的解析式可得： $f(x+\theta)=\sin(x+\theta)$ ,函数为偶函数, 则当 x=0 时, $x+\theta=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)$ , 即 $\theta=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)$ , 结合 $\theta\in[0,2\pi)$ 可取 k=0,1, 相应的 $\theta$ 值为 $\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi$ .

(2)由函数的解析式可得： $y = \sin^{2}\left(x + \frac{\pi}{12}\right) + \sin^{2}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

$= \frac{1 - \cos \left(2 x + \frac{\pi}{6}\right)}{2} + \frac{1 - \cos \left(2 x + \frac{\pi}{2}\right)}{2}$

$= 1 - \frac{1}{2} \left[\cos \left(2 x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(2 x + \frac{\pi}{2}\right) \right]$

$= 1 - \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x - \frac{1}{2} \sin 2 x - \sin 2 x\right)$

$= 1 - \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x - \frac{3}{2} \sin 2 x\right)$

$= 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(2 x - \frac{\pi}{6}\right).$

据此可得函数 $^{的}$ 值域为： $\left[1-\frac{\sqrt{3}}{2},1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$ .

【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.