浙江 2019 · 数学 q18

冷启动：两问都在同一条正弦曲线上做手脚

题面只给了一个函数 $f(x)=\sin x$。两问做的都是平移：

• 第 (1) 问把它左移 $\theta$，问什么时候平移后的图象关于 $y$ 轴对称；
• 第 (2) 问把它分别左移 $\dfrac{\pi}{12}$ 与 $\dfrac{\pi}{4}$，各自平方再相加，问和的值域。

第 (2) 问的钥匙在题面里就能看见：两个平移量的差是一个常数

——两条曲线的相位差与 $x$ 无关，永远错开 $\dfrac{\pi}{6}$。这件事决定了它们的和长什么样，下面两条路都是从它出发的。

第 (1) 问：把「偶」翻译成一个方程

$f(x+\theta)=\sin(x+\theta)$。它是偶函数，按定义就是对任意 $x$ 都有

两边展开（左边把 $-x$ 当成一个整体代进和角展开式）：

取 $x=\dfrac{\pi}{2}$（$\sin x=1$）即得 $\cos\theta=0$，于是

$\theta\in[0,2\pi)$ 限定了 $k$：$k=0$ 给 $\dfrac{\pi}{2}$，$k=1$ 给 $\dfrac{3\pi}{2}$，$k=2$ 已经超出。所以

这一问只有一个失分点：只写 $\dfrac{\pi}{2}$。 通解的周期是 $\pi$，而区间长 $2\pi$，$2\pi\div\pi=2$——里面必然有两个解。

图象看法（和上面完全等价，但更快）：偶函数的图象关于 $y$ 轴对称，而正弦曲线的对称轴只能过峰顶或谷底，所以「$f(x+\theta)$ 是偶函数」就是「$x=0$ 处取到最值」，即 $\sin\theta=\pm 1$，同样给出 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$（此时是 $\cos x$，$x=0$ 是峰顶）与 $\theta=\dfrac{3\pi}{2}$（此时是 $-\cos x$，$x=0$ 是谷底）。

官方解析在这里跳了一步：它直接写「函数为偶函数，则当 $x=0$ 时，$x+\theta=k\pi+\dfrac{\pi}{2}$」——从「偶」到「$x=0$ 处取最值」那句理由没写出来。补上它（对称轴必过最值点），推理才是闭合的。

解法一：逐项降幂展开，再用辅助角公式合成一条正弦

第一步，降幂。 平方项一律换成一次项：

注意角也翻倍了：$2\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)=2x+\dfrac{\pi}{6}$，$2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2x+\dfrac{\pi}{2}$。

第二步，把两个余弦都展开到 $2x$ 上（相位不同的项不能直接相加，必须先统一到同一个角）：

相加得 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\dfrac{3}{2}\sin 2x$，于是

第三步，合一。 振幅是

把它提出来：

（括号里正是 $\sin 2x\cos\dfrac{\pi}{6}-\cos 2x\sin\dfrac{\pi}{6}$。）$x$ 取遍 $\mathbb{R}$ 时 $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 取遍 $[-1,1]$，所以

合完立刻回验一个点（这一步只花五秒，却挡住了相位写反这个最常见的错）：取 $x=0$，标准式给 $1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1-\dfrac{\sqrt{3}}{4}\approx 0.567$；原式给 $\sin^{2}\dfrac{\pi}{12}+\sin^{2}\dfrac{\pi}{4}\approx 0.067+0.5=0.567$。对上了。

解法二：相位差是常数，$\sin^{2}A+\sin^{2}B=1-\cos(A+B)\cos(A-B)$ 一步到位

上面那一串展开其实可以整个跳过。先把恒等式推出来（两行）：

而 $2A=(A+B)+(A-B)$、$2B=(A+B)-(A-B)$，对这两个角用两角和与差的余弦公式再相加，正弦项恰好抵消：

代回去：

这就是「取中点」的看法：把两个角写成中点 $\dfrac{A+B}{2}$ 加减半差 $\dfrac{A-B}{2}$，和式里与半差有关的部分成了常数因子，与中点有关的部分成了唯一的变量——对称换元用在相位上，就是这个样子。

本题 $A=x+\dfrac{\pi}{12}$、$B=x+\dfrac{\pi}{4}$，于是

$A-B$ 不含 $x$，$\cos(A-B)=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 是个常数。直接得

标准式到手：中线 $1$、振幅 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，值域 $\left[1-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\ 1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$。

与解法一的结果是同一条曲线：$-\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)$，两式逐字相同。

这条路真正的收获是那个常数因子：振幅 $=\cos(A-B)=\cos\dfrac{\pi}{6}$，只由两个平移量的差决定。把题目里的 $\dfrac{\pi}{12}$、$\dfrac{\pi}{4}$ 换成任何相差 $\dfrac{\pi}{6}$ 的两个数，答案一个字都不用改；差改成 $\dfrac{\pi}{2}$ 时 $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$，和干脆是常数 $1$（那正是 $\sin^{2}+\cos^{2}=1$）。

两条路的分工

考场建议：先按解法二试三十秒——两个相位一相减，若差是常数就直接出答案；不是常数（比如 $\sin^{2}x+\sin^{2}2x$ 这种角本身成倍数关系的）再退回解法一。

避坑清单