浙江 2017 · 数学 q18

冷启动：三个问题，其实只有一件事要做

题面给的是

$$f(x)=\sin^{2}x-\cos^{2}x-2\sqrt3\,\sin x\cos x,\qquad x\in\mathbb{R}$$

然后问三件事：$f\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ 是多少、最小正周期是多少、在哪些区间上递增。

这三件事看起来是三道小题，其实是一道。原式里有平方、有乘积、角还都是 $x$， 这种样子什么性质都读不出来。但只要把它整理成

$$f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$$

这一条标准式，三个问题就同时变成抄写：代一个数进去是第一问，$\dfrac{2\pi}{|\omega|}$ 是第二问， 把正弦自己的递增区间平移缩放一下是第三问。

所以真正的工作量全在化式子这一步。这道题的官方解答也是这么走的。

为什么原式读不出周期？ 因为 $\sin^{2}x$、$\cos^{2}x$、$\sin x\cos x$ 三项虽然各自的 最小正周期都是 $\pi$，但「几个周期 $\pi$ 的函数相加，和的最小正周期还是 $\pi$」这句话 并不总对（相加可能互相抵消，让周期变小）。要断言最小正周期，得先把和算出来。

解法一：合成一个正弦，再用整体代换把正弦自己的递增区间搬过来

第一步：两处二倍角，把平方和乘积都换掉

原式里有两块碍事的东西，各用一次二倍角公式：

$$\sin^{2}x-\cos^{2}x=-\left(\cos^{2}x-\sin^{2}x\right)=-\cos 2x$$ $$2\sqrt3\,\sin x\cos x=\sqrt3\cdot\left(2\sin x\cos x\right)=\sqrt3\,\sin 2x$$

代回去：

$$f(x)=-\cos 2x-\sqrt3\,\sin 2x$$

现在只剩一次项，角统一成 $2x$——这正是能用辅助角的形态。

$\cos 2x$ 有三种写法（$\cos^{2}x-\sin^{2}x$、$1-2\sin^{2}x$、$2\cos^{2}x-1$）。 这里要的是第一种，因为只有它能把题面的 $\sin^{2}x-\cos^{2}x$ 整块吃掉。选错一种， 式子里会留下常数项，后面全乱。

第二步：辅助角，合成一个正弦

现在的形状是 $a\sin 2x+b\cos 2x$，其中 $a=-\sqrt3$（$\sin 2x$ 的系数）、$b=-1$（$\cos 2x$ 的系数）。 振幅

$$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3+1}=2$$

提出振幅：

$$f(x)=2\left(-\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x-\frac12\cos 2x\right)$$

括号里两个系数的平方和恰是 $1$，所以存在 $\varphi$ 使 $\cos\varphi=-\dfrac{\sqrt3}{2}$、$\sin\varphi=-\dfrac12$。 两个都是负的，$\varphi$ 在第三象限，取 $\varphi=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}$。于是

$$\boxed{\,f(x)=2\sin\!\left(2x+\frac{7\pi}{6}\right)\,}$$

代一个数回验：$x=0$ 时原式 $=0-1-0=-1$；标准式 $=2\sin\dfrac{7\pi}{6}=2\times\left(-\dfrac12\right)=-1$。对上了。

（也可以写成 $f(x)=-2\sin\!\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$，两者靠 $-\sin\theta=\sin(\theta+\pi)$ 互换。 下面用带正号的那一条，因为正号形态可以直接套正弦的递增区间，不必再想外层负号的方向。）

第三步（Ⅰ）：代进去

$$f\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2\sin\!\left(2\times\frac{2\pi}{3}+\frac{7\pi}{6}\right) =2\sin\!\left(\frac{4\pi}{3}+\frac{7\pi}{6}\right) =2\sin\!\left(\frac{8\pi}{6}+\frac{7\pi}{6}\right)=2\sin\frac{15\pi}{6}=2\sin\frac{5\pi}{2}$$

而 $\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi$，所以 $\sin\dfrac{5\pi}{2}=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$。

$$f\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=2$$

$2$ 正是振幅，说明这一点恰好落在一个最高点上——图里那个点就是它。

第四步（Ⅱ）：周期

标准式 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的最小正周期只由 $\omega$ 决定：

$$T=\frac{2\pi}{|\omega|}=\frac{2\pi}{2}=\pi$$

第五步（Ⅱ）：整体代换，把递增区间搬过来

正弦自己的递增区间是 $\left[-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ \dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right]$（$k\in\mathbb{Z}$）。 把整块 $2x+\dfrac{7\pi}{6}$ 当成那个自变量，塞进去：

$$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \le\ 2x+\frac{7\pi}{6}\ \le\ \frac{\pi}{2}+2k\pi$$

三段同时减 $\dfrac{7\pi}{6}$：

$$-\frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2k\pi\ \le\ 2x\ \le\ \frac{\pi}{2}-\frac{7\pi}{6}+2k\pi$$

左端 $-\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{10\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{3}$， 右端 $\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{4\pi}{6}=-\dfrac{2\pi}{3}$。三段同时除以 $2$（正数，不等号方向不变）：

$$\boxed{\ -\frac{5\pi}{6}+k\pi\ \le\ x\ \le\ -\frac{\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}\ }$$

区间长度 $-\dfrac{\pi}{3}-\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{T}{2}$， 正好是半个周期——每个周期里恰有一段上坡一段下坡，长度对得上，说明没算错。

解法二：第一问直接代角硬算，第二问合成一个余弦、取它的递减段

这条路的用意是：第一问根本不需要化式子，而第二问即使化，也不一定非化成正弦不可。

第一步（Ⅰ）：把 $x=\dfrac{2\pi}{3}$ 直接代进原式

题面给的是 $f(x)=\sin^{2}x-\cos^{2}x-2\sqrt3\,\sin x\cos x$。$\dfrac{2\pi}{3}$ 是特殊角：

$$\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12$$

三项分别算：

$$\sin^{2}\frac{2\pi}{3}=\frac34,\qquad \cos^{2}\frac{2\pi}{3}=\frac14, \qquad 2\sqrt3\,\sin\frac{2\pi}{3}\cos\frac{2\pi}{3}=2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac32$$

合起来：

$$f\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac34-\frac14-\left(-\frac32\right)=\frac12+\frac32=2$$

注意最后那个减号：题面第三项前面是减号，而这一项本身算出来是负的，负负得正。 这是这条路唯一会翻车的地方。

第二步（Ⅱ）：同样先降次，但这次合成余弦

降次那两步和解法一一样，只用两次二倍角公式：

$$\sin^{2}x-\cos^{2}x=-\cos 2x,\qquad 2\sqrt3\,\sin x\cos x=\sqrt3\,\sin 2x$$ $$f(x)=-\cos 2x-\sqrt3\,\sin 2x=-\left(\cos 2x+\sqrt3\,\sin 2x\right)$$

括号里那一块，用差角余弦去凑：

$$2\cos\!\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\cos 2x\cos\frac{\pi}{3}+\sin 2x\sin\frac{\pi}{3}\right) =2\left(\frac12\cos 2x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x\right)=\cos 2x+\sqrt3\,\sin 2x$$

正好就是括号里那一块。于是

$$\boxed{\,f(x)=-2\cos\!\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\,}$$

回验：$x=0$ 时原式 $=0-1-0=-1$；这条式子 $=-2\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-2\times\dfrac12=-1$。对上了。

用差角余弦时最容易记反：$\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$，是加号。 写成减号的话凑出来的是 $\cos 2x-\sqrt3\sin 2x$，和括号里的东西差一个符号。

第三步（Ⅱ）：周期

余弦形态一样读：$\left|\omega\right|=2$，所以

$$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$$

第四步（Ⅱ）：外层带负号，要的是余弦的递减段

记 $u=2x-\dfrac{\pi}{3}$。因为 $\omega=2>0$，$u$ 随 $x$ 严格增大；而 $f=-2\cos u$ 里外层 带负系数，所以

$$f\ \text{随}\ x\ \text{递增}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos u\ \text{随}\ u\ \text{递减}$$

这个反向是本题最容易掉的一步：看见「求递增区间」就去套余弦的递增区间，答案会整体错半个周期。

余弦的递减区间是 $\left[2k\pi,\ \pi+2k\pi\right]$（$k\in\mathbb{Z}$），代进去：

$$2k\pi\ \le\ 2x-\frac{\pi}{3}\ \le\ \pi+2k\pi$$

三段同时加 $\dfrac{\pi}{3}$ 再除以 $2$：

$$\frac{\pi}{6}+k\pi\ \le\ x\ \le\ \frac{2\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$$

第五步：这和解法一的答案是同一族

解法一得到 $\left[-\dfrac{5\pi}{6}+k\pi,\ -\dfrac{\pi}{3}+k\pi\right]$，这里得到 $\left[\dfrac{\pi}{6}+k\pi,\ \dfrac{2\pi}{3}+k\pi\right]$，两者差一个 $\pi$：

$$\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6},\qquad \frac{2\pi}{3}-\pi=-\frac{\pi}{3}$$

也就是把 $k$ 换成 $k-1$ 就完全重合。$k$ 跑遍全体整数时，两种写法给出的是同一族区间。

顺带把第一问也对上了：$x=\dfrac{2\pi}{3}$ 恰是 $k=0$ 那一段的右端点，即一段上坡的终点， 所以那里是最高点，函数值就是振幅 $2$——和第一步硬算的结果一致。

回头看：两条路各自强在哪儿

三条可以带走的经验：

1. 只要看到平方或 $\sin x\cos x$，先降次。 降完角统一了，才谈得上合并。
2. 负号要么并进相位，要么就一路盯住它。 最怕的是并了一半：式子写成 $-2\sin(\cdots)$， 却去套正弦的递增区间。
3. 单调区间的写法不唯一。 只要 $k$ 跑遍整数后得到的是同一族，就都算对。 自查办法是量一量区间长度：应当恰好是半个周期。